4.3 函数的应用-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第一册)

函数的应用 1 函数模型 一次函数 二次函数 指数函数 指数型函数 对数函数 对数型函数 幂函数 幂函数型 2 增长快慢比较 常见函数图象 3 函数的零点 ① 函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. ② 方程根与函数零点的关系 方程有实数根 ⇔函数有零点 ⇔函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. 如 方程的实数根是， 函数与轴的交点横坐标是， 函数的零点是，而不是. 拓展 方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为. 解惑 若让你求解?可能知道，那是否只有一个实数根呢？ 而方程的实数根函数与函数的交点横坐标 如图就较容易得到，方程实数根有3个. ③求函数零点方法 (代数法) 求方程的实数根. (几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置. 4函数零点定理 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 5二分法 ① 二分法的概念 对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. ② 用二分法求方程近似解的步骤 确定区间，验证，给定精确度； 求区间的中点 计算， 若则就是函数的零点； 若，则令(此时零点 若，则令(此时零点) 判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值为(或)；否则重复 【题型一】不同函数模型的认识 【典题1】 惠州市某学校物理兴趣小组在实验测试中收集到一组数据如表所示： 用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　) ． 【解析】方法 由表可知：是关于的增函数；且增幅随的增大而增大，故只有满足要求．故选． 方法 作出散点图，如图， 由函数拟合可知只有满足要求．故选． 方法 由表可知：是关于的增函数；故不适合； 对于：，，；故不接近； 对于：， ，．故接近； 对于： ，故不接近． 故选． 【点拨】 判断最佳函数模型，方法如下 ① 根据数据的增减性和增幅，排除不符合的函数； ② 根据表格描点做出散点图，结合常见函数模型进行判断； ③ 代点法，把数值代入函数中，若数值偏离较远则排除. 【典题2】 假设有一套住房从年的万元上涨到年的万元．如表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是年以来经过的年数． 万元 万元 求函数的解析式； 求函数的解析式； 完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种 【解析】由题意可设， 当时，；当时，， ，解得， ； 由题意可设， ，， ，解得， ； 表中数据如下： 万元 万元 在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示： 有图象可知，呈直线增长，增长速度较慢；呈指数型增长，增长速度较快． 【点拨】求函数的解析式，当已知函数类型时用“待定系数法”. 【题型二】不同函数模型的应用 【典题1】 某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年． 求森林面积的年增长率； 到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ 为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林多少年？ (参考数据： 【解析】(1)设森林面积的年增长率为，则，解得， 森林面积的年增长率为1； (2)设已经植树造林年，则由题意可知， ，， 已经植树造林年； (3)设为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林年，则， ， ， ， 故为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林年． 【典题2】 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套元的价格收购其生产的全部防护服．公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到万件)，其中为工厂工人的复工率()．公司生产万件防护服还需投入成本(万元)． 将公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数； 对任意的(万元)，当复工率达到多少时，公司才能不产生亏损？(精确到)． 【解析】 ，． 若对任意的，公司都不产生亏损， 则在恒成立， 即， (分离参数法) 记，则， 此时， 由于函数在单调递增，(对勾函数) 所以当时，， ， 即当工厂工人的复工率达到时，对任意的，公司都不产生亏损． 【点拨】 ① 根据题意求出函数的解析式，在实际问题中，特别注意自变量的取值范围； ②