5.7 函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第一册)

函数的图像和性质 1 性质 (1) 简谐运动可用函数，表示， 是振幅，周期，频率 ，相位，初相. (2) 对的影响 影响函数的最值，影响周期，影响函数水平位置. 2 函数的变换 (1) 平移变换 ① 将图像沿轴向左(右)平移个单位(左加右减)； ②将图像沿轴向上(下)平移个单位(上加下减). PS 向左平移个单位，得到的函数不是， 而是. (2) 伸缩变换 ① 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍(伸长，缩短). ② 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍(缩短，伸长)； 问题 怎么理解呢？例：若将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那得到的函数是呢？ 解析 我们把的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，会变大(与成反比，即变换后的函数应该是.   【题型一】函数图象的变换 【典题1】 将函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位得到函数的图象，则下列说法正确的是(　　) ．函数的最小正周期为 ．函数的单调递增区间为 ．函数的图象有一条对称轴为 ．函数的图象有一个对称中心为 【解析】函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍， 再向右平移个单位得到的图象． 与比较 (利用诱导公式转化同函数名) 又由于，所以． 所以，故函数的周期为，错误； 令，解得， 所以函数单调递增区间为，故正确； 由于，则取不到最值，不是对称轴， ，不是对称中心，即，错误． 故选：． 巩固练习 1(★) 将函数的图象先左移，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的，所得图象的解析式为(　　) 【答案】 【解析】函数，其图象先左移个单位，得的图象； 再纵坐标不变，横坐标缩为原来的，得函数的图象； 所以函数的解析式为．故选：． 2(★) 将函数)的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．若，则(　　) ． ． ． ． 【答案】 【解析】将函数)的图象向左平移个单位长度， 可得 的图象， 因为，所以，即， 所以或． 因为，所以，，故选：C． 3(★★) 为了得到函数的图象，可以将函数的图象(　　) ．向右平移个单位 ．向左平移个单位 ．向右平移个单位 ．向左平移个单位 【答案】 【解析】为了得到函数的图象，可以将函数的图象向左平移个单位．故选：． 4(★★) 已知函数的两条相邻的对称轴的间距为，现将的图象向左平移个单位后得到一个偶函数，则的一个可能取值为(　　) ． ． ． 【解析】函数的两条相邻的对称轴的间距为，所以，解得， 现将的图象向左平移个单位后得到一个为偶函数， 则，整理得， 当时，．故选：B． 5(★★) 已知函数的最小正周期为，且图象向右平移个单位后得到的函数为偶函数，则的图象(　　) ．关于点对称 ．关于直线对称 ．在[，]单调递增 ．在单调递减 【答案】 【解析】的最小正周期为，，得， 此时， 图象向右平移个单位后得到)， 若函数为偶函数，则，，得， ，当时，， 则)， 则，故关于点不对称，故错误， ，故关于直线不对称，故错误， 当时，，， 此时函数为增函数，故正确， 当时，，， 此时函数不单调，故错误，故选：． 6(★★★) 将函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位得到函数的图象，则下列说法正确的是(　　) ．函数的最小正周期为 ．函数的单调递增区间为 ．函数的图象有一条对称轴为 ．函数的图象有一个对称中心为 【解析】函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位得到：的图象． 与比较， 又由于，所以． 故，得到， 所以：． 故函数的周期为，错误； 令，解得， 函数单调递增区间为，故正确； 由于，可得错误．故选：． 【题型二】由函数的部分图象求解析式 【典题1】 已知函数的部分图象如图所示，下述四个结论：①；②；③是奇函数；④是偶函数中，其中所有正确结论的编号是 . 【解析】由函数图象的最值可得， 由，解得，所以， 此时 代入得， ， 又，， ， ①、②正确； 不是奇函数，③错误； ， 为偶函数，④正确． 综上知，正确的命题序号是①②④． 【点拨】由函数()的部分图象求解析式的方法 (1) 求：通过函数最值求解，得； (2) 求：根据图象求出周期，再利用求出； (3) 求：求出后代入函数图象一最值点，求出. 【典题2】 已知函数，， 且上单调，则函数的解析式是 . 【解析】 对于函数)， 由，可得函数的图象关于直线对称； 又，可得函数的图象关于点(，对称，即； ，解得， ； 上单调 ，，(由单调区间得到周期范围) ， 又， ， (，0)是对称中心，， 即，又 ， . 【点拨】 ① 对于函数， 若，则是其对称轴；若，则是其对称中心