5.5 三角函数和差角公式 -【高分突破系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第一册)

三角函数和差角公式 1 两角和差的正弦，余弦与正切公式 (理解公式的推导，体会其方法，而不死背公式) ① 余弦两角和差公式 推导如下 如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴为非负半轴为始边作角，，，它们的终边分别与单位圆相较于点，连接，，若把扇形绕点旋转角，则点，分别与重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以. 根据两点间的距离公式，得 化简得 而 ②正弦两角和差公式 推导如下 ③正切两角和差公式 (由、可推导正切的和差角公式) 对公式中的理解，他们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子 Eg： 对应公式，把； ② 对应公式，把，看成数字； ③， 对应公式，把分别. 对应公式的运用，注意整体变换的思想. 2 辅助角公式 其中. 熟记两个特殊角的化简过程 型，配 型，配   【题型一】和差角公式的基本运用 【典题1】 计算 . 【解析】 (大角化小角) 【典题2】 . 【解析】 【点拨】由可得 【典题3】 若，且是方程的两个根，则 . 【解析】由已知可得，， ． ，且，， ，则， ． 【点拨】注意考虑角度的范围. 【典题4】已知，则　 ． 【解析】已知两等式分别平方得①， ②， ①+②得：， 即， 则． 【典题5】 设，则(　　) A． B． C． D． 【解析】由题意知，， 即， (正切化弦) 等式两边同乘以，得， 所以， 即；(化为同一函数名) 又， 所以，，(注意角度的范围限制) 所以，所以． 故选：． 【点拨】遇到含正切与正弦余弦的等式，可采取“切化弦”的方法. 【典题6】 在中，，，则的形状为　 　． 【解析】， ， ，，． 又， ， ，， ， 为等边三角形. 【点拨】在三角形中，，. 巩固练习 1(★) 　 ． 【答案】 【解析】 ． 2(★) 若，且，则 　 ． 【答案】 【解析】若，且，则， 所以， 所以． 3(★) 已知：均为锐角，，，则　 ． 【答案】 【解析】由于，均为锐角，，， 所以． 所以． 所以． 4 (★★) 在中，，则 　 ． 【答案】 【解析】因为△ABC中，， ； ； ； ，(舍)； 故； ； . 5(★★★) 设，若，)，且，则　 ． 【答案】 【解析】由得， ，， 因为，，所以，， 由，得， ． 6 (★★★) 设，，则的最大值为　 ． 【解析】由可得， ， 所以， 当且仅当即，时取等号，此时α－β取得最大值． 7(★★★) 已知锐角满足，则的最小值为　 ． 【答案】 【解析】因为锐角满足， 所以， 令，，则， 由题意得，， 则 ， 当且仅当时取等号，此时的最小值． 【题型二】角的变换 【典题1】 若，，则 　 ． 【解析】 ， ， ，， 又，即在第三象限，(注意角度的范围) ， 则 【点拨】 ① 因为已知角和所求角中的系数是相反数，故想到两角和是特殊角为关键，则有. ② 在角的变换中，要注意已知角与所求角之间的和差是否为定值. 【典题2】若，，且，，则的值是 . 【解析】(找到已知角与所求角之间的关系) 则 (求也，还要求，) ，， 又，， ； ，， ， ， (确定与的范围，以确定和的正负号) ， 又，， ， . 【典题3】已知，，则的最大值为 . 【解析】，， ， ， 即， ，即， 化简整理得， 当且，即，等号成立，取得最大值． 巩固练习 1 (★★) 已知，且，，则　 　． 【答案】 【解析】已知，且， ，，． ， 2 (★★) 若，，，则　　． 【答案】 【解析】由于， 所以，，， 故，， 且，， 故．， 所以 ， 3 (★★) 若，，，，则 　　． 【答案】 ，， ， ， ( . 4 (★★) 已知，，均为锐角，则　 　． 【答案】 【解析】因为为锐角，且， 所以，， 又因为， 于是， 又为锐角，所以． 5 (★★) 已知，，且，则的值　 　． 【答案】 【解析】， ， ， 则 由得， 6 (★★) 若，，且，，则的值是　　． 【答案】 ，，， 又， ，即，， ； 又，， ， ． 又，， ，， 【题型三】辅助角公式的运用 【典题1】 若，，则，的大小关系是　 　． 【解析】化简可得，， ， 由正弦函数的单调性可