5.4 三角函数的图像与性质-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第一册)

三角函数的图像与性质 1 周期函数 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足 ，那么函数就叫做周期函数，叫做该函数的周期. PS ①从解析式来看：任一自变量对应函数值与增加后对应函数值相等； ②从图象看：整体函数图象是由一部分图象像“分身术”一样向两边延申，而那一部分图象的水平长度就是其正周期！ ③ 三角函数就是典型的周期函数. 2 正弦函数，余弦函数的图像与性质 注 表中的 图像 定义域 值域 最值 当时，； 当时，. 当时，； 当时，. 周期性 对称中心 对称轴 单调性 在上是增函数； 在上是减函数. 在上是增函数； 在上是减函数. 3 正切函数的图像与性质 注 表中的 图像 定义域 值域 最值 既无最大值也无最小值 周期性 对称中心 对称轴 无对称轴 单调性 在上是增函数   【题型一】求解三角函数的性质 性质1 周期性 【典题1】 的最小正周期是（ ) 【解析】, 故是的周期，由选项可知选. 【点拨】从定义出发：存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，则叫做该函数的周期. 【典题2】下列函数中，最小正周期为的是(　　) 【解析】由图可知函数不是周期函数，故不正确； 由于函数的周期为，故不正确； 由图可知函数的周期，故不正确； 由图可知函数的周期为，故正确， 故选：． 【点拨】 ① 函数,的最小正周期, 函数的最小正周期； ② 利用函数的对称变换与翻转变换，利用图象判断函数周期更容易些. 性质2 对称性 【典题1】 函数的图象(　　) ．关于点对称 ．关于点对称 ．关于直线对称 关于直线对称 【解析】方法1 对于函数， (求出函数的所有对称轴和对称中心再判断) 令，则则函数的对称轴是， 若，解得；若，解得，故排除； 令，则则函数的对称中心是， 若，解得，可排除； 若，解得，故关于点对称. 故选：． 方法2 对于函数， 当时，，而不是正弦函数的对称中心，故错误； 当时，，而是正弦函数的对称中心，故正确； 当时，，而不是正弦函数的对称轴，故错误； 当时，，而不是正弦函数的对称轴，故错误； 故选：． 【点拨】本题两种方法， 方法1是求出三角函数的全部对称轴或对称中心(此时把看成整体)，再判断； 方法2是把问题转化正弦函数的性质判断； 对于三角函数 ① 若是其对称轴，则是正弦函数的对称轴； ② 若是其对称中心，则满足函数的对称中心. 对于三角函数类似. 【典题2】 已知函数图象关于直线对称，则函数在区间上零点的个数为 . 【解析】函数图象关于直线对称， ，(的对称轴是) ，， 由知，时，， 故， 令得，． 因为，所以时，满足条件， 故零点有三个． 性质3 单调性 【典题1】 函数的一个单调递减区间是(　　) ． ． ． ． 【解析】 (求出函数的全部减区间) 解得，， 时，；时，；时，， 是的一个单调递减区间． 故选：． 【点拨】 ① 复合函数的单调性：同增异减 函数可看成与组成复合函数.因为是减函数，求函数的减区间，则把代入的增区间求出的范围. ② 判断是否的一个单调递减区间，也可以采取前面判断对称性的方法.具体想法如下 是的一个单调递减区间 是的一个单调递增区间 由，而]不是的增区间； 故不是的一个单调递增区间，不是的一个单调递减区间，即选项错误. 作某些选择题这样做会简洁些. 【典题2】若，则 (　　) 【解析】(显然选项是由函数单调性作出判断) 令，解得， 故在上递增， 由函数的周期性易得函数在上递增，关于对称， (由于在内，需要了解函数在其附近的单调性，相当数形结合的思路) 其中比离对称轴更近些，所以，而接近， 所以． 故选：． 性质4 最值 【典题1】 若函数的最小正周期为，则在上的值域为　 　． 【解析】依题意得，． ，， ，即的值域是. 【典题2】 已知函数在上的最大值为，最小值为，则的取值范围是 . 【解析】函数的周期为， 且对称轴为，对称中心，， 的图象大致如图所示； 区间正好是函数个周期，在一个周期内讨论就行， 设的中点为， 由图可知， 当点落在对称轴上，即时，，， 此时取得最小值为； 当点落在对称中心上，即时，，， 此时的值为； 的取值范围是． 【点拨】 ① 对于正弦函数、余弦函数，由图可知，相对而言靠近对称轴位置，函数值变化较慢，而靠近对称中心位置函数值变化较快些. ② 本题也属于“纵向距”问题，数形结合处理恰当. 巩固练习 1(★)下列函数中最小正周期为的函数是(　　) 【答案】 【解析】、函数的最小正周期，不满足条件； 、