1.3 探索三角形全等的条件-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

第1章 全等三角形 1.3探索三角形全等的条件 目标导航 课程标准 课标解读 1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“角边角”，判定方法2——“边角边”；能运用它们判定两个三角形全等． 2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 3．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“边边边”，和判定方法4——“角角边”； 2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 3．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等. 知识点01 全等形的判定 1.全等三角形判定1——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 【微点拨】 如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 【即学即练1】如图，已知A，F，E，C在同一直线上，∥，∠AEB=∠DFC，AF=CE．求证：AB=CD． 【答案】见详解 【分析】根据全等三角形证明△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】证明：∵AB∥CD， ∴∠ACD=∠CAB， ∵AF=CE， ∴AF+EF=CE+EF， 即AE=FC， 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（ASA）． ∴AB=CD． 2. 全等三角形判定2——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 【微点拨】 如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 3. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. △ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 4.全等三角形判定3——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 【微点拨】 如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 【即学即练2】如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由“”可证，可得结论． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 5.全等三角形判定4——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 【微点拨】 由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 6.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【即学即练3】已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE． 【答案】见解析 【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等． 【详解】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知） ∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义） ∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义） ∠ACE＝90°（已证） ∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性质） ∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形内角和等于180°） ∠B＝90°（已证） ∴∠BCA+∠A＝90°（等式性质） ∴∠DCE＝∠A （同角的余角相等） 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（ASA） ∴BC＝DE（全等三角形对应边相等） 知识点02 判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 【即学即练4】证明命题：“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等”，画出图形如下，请根据题意写出已知和求证部分，并写出证明过程． 【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的判定定理证明即可． 【详解】解：已知：在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，AC=A’C’，AD与A’D’分别为BC与B’C’边上的中线，且AD=A’D’， 求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ ． 证明：∵∠C=∠C’=90°，AD=A’D’，AC=A’C’， ∴Rt△ADC≌Rt△A’D’C’(HL)， ∴CD=C’D’， ∵AD与A’D’分别为BC与B’C’边上的中线， ∴点D和点D’分别是BC与B’C’的中