第20讲 垂径定理-【暑假精品课堂】2022年新九年级数学暑假同步课（浙教版）

第20讲 垂径定理 一、垂径定理 ( AE=BE )1.垂径定理 　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 如图，几何语言为： ( CD ⊥ AB )CD是直径 要点： 2.推论 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点： （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 二、垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 例1．下列说法正确的是（       ） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心 例2．垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧． 符号语言： ∵①CD是直径，②CD⊥AB ∴③AE＝_____，④＝________，⑤＝________． 例3．如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 例4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，，点C是的中点，点D是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为________m． 例5．如图，是的直径，弦于点，，，则的长为（       ） A．4 B．5 C．8 D．16 例6．如图，为的直径，弦，垂足为，，，则的半径为（       ） A．3 B．4 C．5 D．无法确定 例7．的半径为，弦．若，则和的距离为（       ） A． B． C．或 D．或 例8．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子（　　） A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块 例9．如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是_____． 例10．如图，的半径，弦于点，若，则的长为（　　） A．7.5 B．9 C．10 D．12 例11．如图，半径为5的与y轴交于点，点P的坐标为______． 例12．如图，交轴与两点，交轴于点，弦于点的纵坐标为2，，．则圆心的坐标为____． 例13．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（　　） A．4 B．6 C．6 D．8 例14．如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（　　） A．48 B．45 C．42 D．40 例15．如图，在平面直角坐标系中，已知，点是以为直径的半圆上两点，且四边形是平行四边形，则点的坐标是（       ）     A． B． C． D． 例16．如图，在⊙O中，∠AOB+∠COD=180°，弦CD=6，OE⊥AB于点E．则OE的长为（　　　） A．3 B．2 C．3 D．6 一、单选题 1．如图，在中，于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（       ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 2．往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（       ）cm． A．10 B．14 C．26 D．52 3．下列命题中假命题是（       ） A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心 C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 4．已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点M，若OM：OA=3：5，则弦AC的长度（          ）． A． B． C．3 D．或 5．如图，的半径为5，弦，点M是弦上的动点，则（       ） A． B． C． D． 6．如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（       ） A．3 B．4 C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣8，﹣4），则点N的坐标为（       ） A．（－2，﹣4） B．（﹣1，﹣