第11讲 逆命题和逆定理-【暑假精品课堂】2022年新八年级数学暑假同步课(浙教版)

第11讲 逆命题和逆定理 一、命题与逆命题，定理与逆定理 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题． 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理. 要点：每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的. 二、线段垂直平分线定理的逆定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 已知：AB是一条线段，P是一点，且PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上． 证明 (1)当点P在线段AB上时，结论显然成立． (2)当点P不在线段AB上时， 作PC⊥AB于点O． PA=PB，PO⊥AB， ∵ OA=OB， ∴PC是AB的垂直平分线． ∴点P在线段AB的垂直平分线上． 三、角的平分线的判定 　 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点： 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 例1．下列说法错误的是（       ） A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的 C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的 例2．下列命题中，逆命题是真命题的是（       ） A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等 C．两直线平行，内错角相等 D．如果，那么 例3．下列说法正确的是（　　） A．每个定理都有逆定理 B．每个命题都有逆命题 C．真命题的逆命题都是真命题 D．假命题的逆命题都是假命题 例4．下列命题的逆命题是真命题的是（       ） A．全等三角形的周长相等 B．对顶角相等 C．等边三角形的三个角都是60° D．全等三角形的对应角相等 例5．下列定理中，逆定理不存在的是（       ） A．等边三角形的三个内角都等于 B．在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．全等三角形的面积相等 例6．命题“若，那么”是一个____________命题（填真、假），写出它的逆命题：____________． 例7．写出命题“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是______． 例8．下列命题的逆命题成立的序号是____ ① 同旁内角互补，两直线平行 ② 等边三角形是锐角三角形 ③ 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 ④ 全等三角形的三条对应边相等 例9．如图，已知OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，根据角平分线的性质，则有___________； 反之如果PM=PN，且___________，那么OP平分∠AOB． 例10．如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则______． 例11．已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证： （1）； （2）垂直平分． 例12．已知，如图，AB＝AC，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，联结AO并延长交BC于点D，求证：AD⊥BC． 例13．如图，，M是BC的中点，DM平分，求证：AM平分． 例14．如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为___________.（用含的式子表示） 一、单选题 1．下列命题：①若，则；②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；③等边三角形的三个内角都相等．④全等三角形的对应角相等．以上命题的逆命题是真命题的有（       ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列命题中，其逆命题成立的是（       ） ①等边对等角； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④无理数是无限小数． A．① B．② C．③ D．④ 3．下列命题的逆命题是假命题的是（       ） A．等腰三角形两底角相等 B．全等三角形面积相等 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．如果，则或 4．下列命题是真命题的是（     ） A．等腰三角形的顶角一定是锐角 B．三个角对应相等的两个三角形全等 C．每个定理都有逆定理 D．等腰三角形的底角小于 90° 5．命题“如果，，那么”的逆命题是（       ） A．如果，，那么 B．如果，那么， C．如果，，那么 D．如果，那么， 6．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC＝80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，连接AE，则∠CAE的度数是（       ） A．35° B．40° C．50° D．55° 7．如图，在中，，斜边的垂直平分线交于点，交