《如何学会解题》第一部分基本运算专题一代数式运算----（二）分式运算及其应用举例

（二）分式运算 高中数学中，体现出分式运算的主要有复数除法中的分子分母同时乘以分母的共轭复数、给出正切函数值求齐次分式正、余弦值（如以下例4，分子分母乘以）、数列求和中的通项分式裂项、用导数法讨论函数单调性时遇到的分式通分运算、求分式函数的最值（分子分母乘以适当的数或者局部约分）等等。 1、常见的分式（比例式）恒等变形： （1）通分变形： （2）分式的基本性质： （3）部分分式（局部约分法） （4）比例式（合分比变形） 2、应用举例 本题的关键是对分式加减进行通分运算 例3 求的最大值 【解析】 例4已知tan α＝－， 求：(1)； (2). 分析：什么叫齐次式？象（1）中分子分母均为一次式，就叫齐次式。 根据分式特点在（1）中可以在分子分母同时乘，可实现化弦为切； 在（2）中可以把1换成正、余弦的平方和，就可实现分子、分母的齐次式。 解析 (1)＝＝＝. (2)＝＝＝. ∵tan α＝－，∴＝＝ 在例3、4中，可以根据分式的基本性质在分子、母同时乘以一个为不为0的数，从而实现简捷运算。 例5．函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C. D. （1）求参数的取值范围，往往上先分离参数（把单独写在一边），另一边是含x的代数式，然后以x为自变量建立函数，通过函数求其值域； （2）在上面遇到了分式，可以通过分式进行局部约分变形得到，用均值不等式求其值域。 【练习题】 1、计算 3 (2022年全国甲卷21改编)已知函数. （I）求函数的单调区间 （2）若，求a的取值范围； 参考答案： 在方程的左边配成分母为1=，然后在分子分母同时乘以，实现了化弦为切，从而简化计算。 3解析：（1）由题意知函数的定义域为. 由， 可得函数在上单调递减，在上单调递增. （2)由（1）知 函数在上单调递减，在上单调递增，. 又，所以，解得， 所以a的取值范围为. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $