专题1.2 有理数-【帮课堂】2022-2023学年七年级数学上册同步精品讲义（人教版）

专题1.2 有理数 目标导航 1. 有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数 注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。 2. 有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）；②负整数、0统称为非正整数；③正有理数、0统称为非负有理数；④负有理数、0统称为非正有理数； 3.数轴 （1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：①数轴是一条向两端无限延伸的直线；②原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；③同一数轴上的单位长度要统一；④数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 （2）数轴上的点与有理数的关系 ①所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。 ②所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数） （3）利用数轴表示两数大小 ①在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ②正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数； ③两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 （4）数轴上特殊的最大（小）数 ①最小的自然数是0，无最大的自然数； ②最小的正整数是1，无最大的正整数； ③最大的负整数是-1，无最小的负整数 （5）a可以表示什么数 ①a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0； ②a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0 ③a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0 4.相反数 （1）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。 （2）相反数的性质与判定 ①任何数都有相反数，且只有一个； ②0的相反数是0； ③互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0 （3）相反数的几何意义 在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 （4）相反数的求法 ①求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）； ②求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）； ③求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5) （5）相反数的表示方法 ①一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。 当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数） 当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数） 当a=0时，-a=0，（0的相反数是0） 5.绝对值 ①绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 ②绝对值的代数定义 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 可用字母表示为： 如果a>0，那么|a|=a； 如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。 可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。） ②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。） 6.有理数大小的比较 ⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； ⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。 考点精讲 考点1：有理数分类 典例：（2022·全国·七年级）把下列各数填在相应的集合里：3，﹣1，﹣2，0.5，，﹣0.75，0，30%，π． 负数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 正有理数集合：{