考点06 平面向量【亮点讲】-【过高考】2023年高考数学大一轮单元复习课件与检测（全国通用）

【过高考】2023年高考大一轮单元复习 考点06 平面向量【亮点讲】-【过高考】2023年高考 数学大一轮单元复习课件与检测 知识回顾 一、平面向量的概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 二、平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律：a＋b＝b＋a； ②结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ) a； (λ＋μ)a＝λa＋μ a； λ(a＋b)＝λa＋λb 典例1、有下列说法： ①若a≠b，则a一定不与b共线； ②在▱ABCD中，一定有＝； ③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④共线向量是在一条直线上的向量． 其中，正确的说法是________．(填序号) 答案：②③ 【解析】对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；对于②，在▱ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，所以＝，故②正确；对于③，a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故③正确；对于④，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故④不正确． 三、平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，a是这一平面内的任一向量 结论 有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 有关 概念 若e1，e2不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 典例2、设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是________(写出满足条件的序号). 答案：③ 解析:①设e1＋e2＝λe1，则无解，所以e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一个基底． ②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一个基底． ③因为e1－2e2＝－(4e2－2e1)，所以e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一个基底． ④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，则无解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一个基底． 四、平面向量坐标表示 1、平面向量坐标的相关概念 2、平面向量的坐标运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)； (2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差； (3)向量坐标的几何意义：如图所示，在平面直角坐标系中，若A(x1，y1)，则＝(x1，y1)， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)． 典例3、已知＝(1，2)，A(3，4)，则B点坐标是________． 解析：设B点的坐标为(x，y)，则＝(x－3，y－4)＝(1，2)． ∴解得 ∴B点的坐标是(4，6)． 答案：(4，6) 五、平面向量的数量积 1、定义 已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．零向量与任一向量的数量积为0. 2、几何意义 |a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 3、性质 (1)a⊥b⇔a·b＝0； (2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|； (3)a·a＝|a|2或|a|＝＝； (4)cos θ＝； (5)|a·b|≤|a||b| 4、运算律 交换律：a·b＝b·