第04讲 常用逻辑用语-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第一册）

第4讲 常用逻辑用语 【知识梳理】 知识点一 命题 　(1)命题定义：在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫作命题． (2)分类： 特别提醒：(1)判断一个语句是否为命题的两个要素： ①是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言； ②可以判断真假． (2)真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可． 命题的形式 命题的一般形式为“若p，则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． 知识点二　充分条件与必要条件 命题真假 若“p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 知识点三　充要条件的概念 (1)定义：若p⇒q且q⇒p，则记作p⇔q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件． (2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． 知识点四 全称量词与全称命题　 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 知识点五　存在量词与特称命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)” 知识点六　全称量词命题的否定 全称命题p ￢p 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，￢p(x0) 全称量词命题的否定是存在量词命题 知识点七　存在量词命题的否定 存在量词命题p 存在量词p 结论 ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，￢p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 【典型例题】 考点一：　命题的真假判断 1. 如果，那么”是__________命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】 直接根据不等式的性质即可得出结论. 【详解】 解：因为，则， 所以， 所以如果，那么”是真命题. 故答案为：真. 2. 下列命题是假命题的为（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】 对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】 A选项，若，则，A正确. B选项，若，则，B错误. C选项，时，不能得到，C错误. D选项，，但，D错误. 故选：BCD 3. 若命题“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”为真，求实数a的取值范围． 【答案】且. 【解析】 【分析】 方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根，说明是一元二次方程，根的判别式大于0，进而求出结果. 【详解】 由题意知，解得a＜，且a≠0，故实数a的取值范围是且. 考点二：　充要条件的判断 4. 已知，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 先解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】 对于不等式，可解得或. 所以可以推出，而不可以推出. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 根据充分与必要条件的概念，举例判断即可 【详解】 当时，满足，但不满足；又当时，满足，但不满足.故“”是“”的既不充分也不必要条件 故选：D 6. “”是关于的不等式的解集为R的（       ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 取，时可判断充分性；当不等式的解集为R时，分，，讨论可判断必要性. 【详解】 若，取时，不等式，此时不等式解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，且时，不等式， 所以，若关于的不等式的解集为R，则. 综上，“”是关于的不等式的解集为R的必要非充分条件. 故选：B 7. “a<－1”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”的（       ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 讨论，，可得“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”等价于“”再根据充分条件、必要条件的定义即可得出结果. 【详解】 当时，方程即为，解得； 当时，，得，； 所以“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”等价于“” “”能推出“方程至少有一个实数根”，反之不成立； 所以“”是“方程至少有一