2.2 直线的位置关系-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册)

直线的位置关系 1两直线的位置关系 直线方程 位置关系 重合 且 相交 平行 且 垂直 PS 对于两条不重合的直线，其斜率存在时分别为， 则有或的斜率都不存在. 有或且的斜率不存在或且的斜率不存在. 2 线段的中点坐标公式 若点的坐标分别是则线段中点坐标为. 3 常见的直线系方程 平行于直线的直线系方程； 垂直于于直线的直线系方程； 过两条已知直线和交点的直线系方程 ； (这个直线系下不包括直线，解题时注意检验是否满足题意) 4 对称性问题 点关于点的对称 点关于的对称点为； 点关于直线的对称 设点关于直线的对称点为， 则有可求出，从而得到点. (直线是线段的垂直平分线，则，的中点在直线上) 直线关于直线的对称 若已知直线与对称轴相交于点，则与对称的直线过点，再求出直线上一点关于对称轴的对称点，则由点与可求出直线的方程； 若已知直线与对称轴平行，求与已知直线关于对称轴对称的直线，利用直线、到直线的距离相等便可求.(方法其实多样，大致均可转化为点关于直线对称问题) 【题型一】 直线的位置关系的判断 【典题1】 已知：，：，分别求的值，使得和：(1)垂直；(2)平行；(3)重合；(4)相交． 【解析】若和垂直， 方法1 把直线化为斜截式，由斜率求解 当时，，，显然不满足题意；(注意斜率不存在的情况) 当时，，，则，解得； 方法2 从一般式来看，可得，； 若和平行，则， (也可如(1)化为斜截式求解) 解得， 若和重合，则，， 若和相交，则由可知且. 【点拨】判定直线的位置，有斜截式和一般式两种角度；由斜截式判定时，要注意直线斜率是否存在；由一般式判定时，切记不要死记结论. 【典题2】 顺次连接，所组成的图形是(　　) A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 【解析】(要判断四边形形状，需要判断各边的位置关系，可从直线斜率入手) 的斜率为，的斜率为， 则，故 ； 由的斜率为得，则； 由的斜率为得，则与不平行， 故四边形为直角梯形，故选． 【典题3】 已知，直线：，：，与相交于点，交轴于点，交轴于点 (1)证明：； (2)用表示四边形的面积，并求出的最大值. 【解析】(1)当时，直线：，：，显然有； (确定是否一定存在斜率) 当时，与的斜率分别为，，斜率之积，故． 综上，. 由题意知，，， 由与相的方程联立方程组， 解得点， 因，故点在第一象限， (注意这点，否则图不准确，导致四边形判断出错) 则， ， 由可知， ， ， 故时，有最大值为． 【点拨】谨记，成立的前提是直线斜率存在，若不确定要分类讨论. 巩固练习 1(★) 若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，斜率分别为，则下列命题 若，则斜率； 若斜率，则； 若，则倾斜角；若倾斜角，则； 其中正确命题的个数是 . 【答案】 【解析】由于斜率都存在，若，则，此命题正确； 因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确； 因为，根据两直线平行，得到，此命题正确； 因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确； 所以正确的命题个数是． 2(★) 已知直线，与平行，则的值是 . 【答案】 或 【解析】当时，两直线的斜率都不存在，(注意是否为，直线的斜率不一定存在的.) 它们的方程分别是，，显然两直线是平行的． 当时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等， 由，解得：．综上，或. 3(★) 三条直线构成一个三角形， 则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由得，由得， 由得， 若(1，1)在上，则． 故若能构成一个三角形，则且． 4(★) 已知直线：与：互相垂直，其垂足为， 则的值为 . 【答案】 【解析】直线与互相垂直， ，， 直线即 ， 垂足代入得，，． 把代入，可得 ， . 5(★) 直线过点且与点的距离最远，那么的方程为 . 【答案】 【解析】直线过点且与点的距离最远， 直线的斜率为：， 直线的方程为，即 . 6(★★) [多选题] 已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】 【解析】设， 等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为， ，解得或， 点的坐标为或． 故选： 7(★★★) 在中，已知是边上一点，边所在直线的方程分别为． 若，求直线的方程； 若，求直线在轴上的截距． 【答案】(1) (2) 【解析】联立方程，解得， 故点，又，所以， 因为，所以， 又为边上的一点， 所以直线的方程为，即； 因为，所以点为的中点， 设点，则有，