2.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 -【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册)

直线的倾斜角与斜率、直线的方程 知识点1 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角 定义 当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 特别地，当直线与轴平行或重合时，规定. 范围 与轴垂直时，. 直线的斜率 定义 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作. 当直线与轴平行或重合时，， 当直线与轴垂直时，不存在. 倾斜角与斜率之间的关系 ，， 如左图，当时，是递增的； 右图中斜率为的直线对应的倾斜角为，其中，而； 如左图，当时，也是递增的； 右图中斜率为的直线对应的倾斜角为， 其中，而. (简而言之，斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值越大) 斜率公式 经过两点的直线的斜率公式是 使用斜率公式的时候要注意的前提条件. (4)求斜率的方法 已知直线上两点，根据斜率公式求斜率； 已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率. (5) 利用斜率证明三点共线的方法 已知， 若 或，则有三点共线. 知识点 直线的方程 1 直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点 为斜率 不包括垂直于轴的直线 斜截式 为斜率 是直线在轴上的截距 不包括垂直于轴的直线 两点式 经过两点 且 不包括垂直于轴和轴的直线 截距式 是直线在轴上的非零截距 是直线在轴上的非零截距 不包括垂直于轴和轴或原点的直线 一般式 为系数 无限制，可表示任何 位置的直线 2 易错点 (1) 利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否. (2) 截距与距离的区别：截距的值有正、负、零.距离的值是非负数. (3) 用截距式方程表示直线时，要注意方程的条件限制为两个截距均不能为零. 【题型一】直线的倾斜角与斜率的关系 【典题1】已知直线过两点且倾斜角为，则的值为 . 【解析】因直线的倾斜角为，则其斜率， 又由，， 则的斜率， 则有． 【点拨】求斜率有两种方法:与斜率公式. 【典题2】直线的倾斜角的取值范围是 . 【解析】 (直线一般式化为斜截式可知斜率，注意斜率是否存在) 若，则直线方程为，即倾斜角； 若，则直线方程为，即， ， 或， 即或，解得，(结合图象可求) 综上可得. 【典题3】设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围为 . 【解析】如图所示，设直线与线段交于点， 当轴时直线与线段交于点， 当点在上运动时，斜率满足， 当点在上运动时，， 即 或 ，或， 即直线的斜率的取值范围是． 【点拨】 ① 注意理解直线斜率与倾斜角之间的关系与斜率大小的比较方法，结合图象思考； ② 注意到直线与轴垂直的临界处. 巩固练习 1(★) 下列叙述正确的是(　　) A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．直线倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】 【解析】平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，但不一定有斜率，故错误． 由于直线倾斜角的取值范围是，故正确． 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为，故正确． 与x轴垂直的直线的倾斜角是，与轴垂直的直线的倾斜角是，故正确， 故选：． 2 (★) 若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为 . 【答案】 【解析】经过两点，的直线的斜率为=． 又直线的倾斜角为，，即．故选：． 3 (★★) 已知在直角坐标系中，等边中与原点重合，若的斜率为，则的斜率可能为 . 【答案】 【解析】设的倾斜角，的倾斜角， 则或，， 当时，， 当时，． 4(★★) 已知，则直线的倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图所示， 由，， 可得斜率，， 因为直线与线段相交， 所以直线的倾斜角的取值范围是． 5(★★) 直线经过点，，则直线倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【解析】直线l经过点， ， ，， 则， 设直线的倾斜角为，则， 得． 6(★★★) 已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【解析】点，过点的直线与线段有公共点， 直线的斜率或， 的斜率为，的斜率为， 直线的斜率或， 故选： 7(★★★) 在线段上运动，已知，则的取值范围是 . 【答案】 [，] 【解析】如图： 表示线段上的点与连线的斜率，，， 则的取值范围是[，]． 【题型二】求直线方程 【典题1】根据所给条件求直线方程 直线过点，倾斜角的正弦值为； 直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为； 直线过点，. 【解析】 (1) ，， 则直线方