专题2-1 直线与圆的最值问题-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册)

直线与圆的最值问题 1 最值模型 三点共线模型(三角形三边的关系) 点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 某点到圆上点的距离 若点在圆内，则，； 若点在圆外，则，； 圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 2 圆的参数方程 圆的标准方程，圆心为，半径为， 它对应的圆的参数方程：. 理解：如图，易得有向线段， 有向线段. Eg 圆的参数方程为 【题型一】几何法处理最值问题 情况1 三点共线模型 【典题1】是直线：上一点，求 到和的距离之差的最大值； 到和的距离之和的最小值． 【解析】显然位于直线两侧， 作关于直线的对称点，连接，所在直线与直线交点为， 此时的差值最大，最大值就是， 设点关于对称点， 则，， (，中点在上) 得，，， ， 即到和的距离之差最大值为； 显然位于直线同侧，(将军饮马模型) 作点关于直线对称点，连接，所在直线与直线的交点为， 此时之和最小，最小值为， 设关于的对称点为， 可得，， 解得，，即的坐标为，， ， 即到和的距离之和最小值为. 【点拨】三点共线模型，主要是利用三角形三边共线(任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边)，当三点共线时取到最值，熟悉模型快速判断模型是关键. 情况2 斜率型最值 【典题1】如果实数满足条件：，那么的最大值是 . 【解析】满足方程的图形是个圆， 表示圆上动点与原点连线的斜率， 由图可得动点与重合时，此时与圆相切，取最大值， 连接，在中，，， ，， 此时. 【点拨】 ① 本题很好地体现了数形结合，把代数问题转化为几何问题处理； ② 直线斜率公式是，对于形如可理解为点与点之间的斜率，其最值问题可化为几何中斜率的最值问题. 情况3 两点距离型最值 【典题1】已知点在直线：上，则的最小值为　 　． 【解析】的几何意义是点到点的距离， (而是其距离的平方) 又点在直线上， 的最小值为点到直线的距离，(垂线段最短) 又，，则． 【点拨】 ① 本题解法中很好利用两点距离公式. (以下是变量，它们满足某些限制条件，是常数) 求形如或式子的最值，可理解为动点与定点的距离最值问题. ② 本题用代数的方法求解与之比较下，体会下两种方法的不同. 【典题2】 已知点，分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为 . 【解析】 方法1 由平行线距离公式得， 设， 由图可知，即倾斜角为， ， 则， 所以 (利用两点距离公式把所求的用表示处理，此时若想用函数最值的方法求解较难) 设点，，，如图： 则有 即当三点共线时等号成立)， (此时巧妙的用两点距离公式把式子为一动点到两定点的距离之和，达到了几何化的目的) 综上，． 方法2 (把点向方向移动长度单位到，则问题“的最小值”转化为求在上找点使得最小，显然是.) 如图，如方法易得，， 取点，使得，， 则，， 解得， ，即， 此时四边形是平行四边形， 则， 显然，所以的最小值. 【点拨】求形如的式子最值， 可理解为动点与定点的距离之和的最值问题； 这充分把代数问题几何化，与斜率型的题型一样，我们要充分理解， 比如求式子的最值你又会想到我们学过的什么公式么？ 情况4 圆外一定点到圆上点距离最值 【典题1】已知满足，则的最小值是 . 【解析】方程可理解为圆心，半径的圆， 而 可理解为点到点的距离平方， 则问题转化为圆外一定点到圆上点距离最小值， 点到圆上点的最短距离为 ， 则． 【点拨】 ① 本题把方程理解为圆，理解为两点距离的平方； ② 注意点在圆内还是圆外. 【典题2】已知点，圆：，点为在圆上一点，点在轴上，则的最小值为 . 【解析】由题意知，圆的方程化为，圆心，半径为； (本题是双动点问题，它们之间没有联系，可采取先“固定”一动点的方法) 分两步： 第一步 假设圆上点不动，此时点在轴上运动， 求的最小值，这就是“将军饮马问题”， 如图所示，作点关于轴的对称点； 此时的最小值为 (即说不管点在什么位置，最小值都是)， 第二步 再把动点动起来， 此时是圆外一定点到圆上一点的距离最值问题了， 显然 ， 故的最小值为. 【点拨】两动点问题，若两动点没内在联系的，可先“固定”一动点，思考点运动时的最值，确定后再“释放”动点，求出最终的最值. 情况5 圆上一点到圆外一定直线的距离最值 【典题1】已知两点，若点是圆上的动点，则面积的最大值和最小值之和为　　 ． 【解析】(以为底，求其最值，即求点到直线的距离最值) 由两点， ， 直线的方程为，即， 由圆可得圆心