2.4 圆与方程-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册)

圆与方程 1 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径. 2 圆的方程 标准方程 ，圆心，半径为. 一般方程 求圆方程的方法 待定系数法 先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出；若利用一般方程，需要求出； 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 3 点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为，圆半径为， .点在圆内； .点在圆上； 点在圆外. 给定点及圆 · 在圆内； · 在圆上； · 在圆外. 某点到圆上点的距离 若点在圆内，则，； 若点在圆外，则，； 4 直线、圆的位置关系 三种位置关系 根据与的关系判断(为圆心到直线的距离，为圆的半径.) · 相离没有公共点 ; · 相切只有一个公共点 · 相交有两个公共点 联立方程求判别式的方法 联立直线方程与圆的方程求解，通过解的个数来判断： · 当 时，直线与圆有个交点，直线与圆相交； · 当时，直线与圆只有个交点，直线与圆相切； · 当 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离. 圆上一点到圆外一直线的距离 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 5 弦长 弦长公式：(是圆的半径，是圆心到直线的距离). 利用垂径定理及勾股定理可以得到. 【题型一】求圆的方程 【典题1】 若圆过点，且圆心到直线的距离为，求圆的标准方程. 【解析】方法一 几何法 圆过点，圆心的纵坐标为，(画图很容易看得出来) 则设圆心为， 则，或， 当时，；当时，； 圆的标准方程为或. 方法二 待定系数法 设圆的方程为， 则，解得或 (消元求解) 圆的标准方程为或. 【典题2】 已知，，，则过这三点的圆方程为 . 【解析】方法一 待定系数法 设圆的一般方程为，(设为标准方程也可以) 又由圆过，，三点， 则有，解得，，， 则圆的标准方程为，即. 方法二 几何法 圆心是直线的垂直平分线的交点，(根据外心的定义) 易得直线的垂直平分线分别为，， 由，解得，即圆心， 半径，(半径为圆心到任一点的距离) 故圆的标准方程为. 【点拨】求三角形外接圆的方程，可用待定系数法，也可以用三边的中垂线求解. 待定系数法的想法简单但计算量较大. 巩固练习 1(★) 已知圆关于直线对称的圆的方程为，则＝ . 【解析】圆的圆心是坐标原点，半径为， 设关于直线的对称点为， 则，解得， 则点关于直线对称的点的坐标为， 所以圆关于直线对称的圆的方程为， 化为一般式为， 所以，即． 2(★) 圆心在直线上，经过原点，且在轴上截得弦长为的圆的方程为 . 【答案】 或 【解析】画出圆满足题中的条件，有两个位置， 当圆心在第一象限时，过作轴，又， 根据垂径定理得到点为弦的中点，则，由点在直线上， 得到圆心的坐标为，且半径， 则圆的标准方程为：； 当圆心在第三象限时，过作轴，又， 根据垂径定理得到点为弦的中点，则，由点在直线上， 得到圆心的坐标为，且半径， 则圆的标准方程为：， 综上，满足题意的圆的方程为：或． 3(★) 过点，，且圆心在直线上的圆的半径是 . 【答案】 【解析】设圆的标准方程为， 因为圆过点，且圆心在直线上， 则有，解得， 所以圆的半径是． 【题型二】点与圆的位置关系 【典题1】 若点的坐标是，圆的方程为，则点与圆的位置关系是(　　) A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆内或圆上 D．点在圆上或圆外 【解析】点的坐标是， ， 点与圆的位置关系是点在圆内或圆上， 故选：． 【点拨】判定点到圆的位置，方法有两种，①求，与半径比较大小；②把点代入圆的方程，得到其值与的大小比较. 【典题2】 若实数满足，则的最大值是 . 【解析】方法1 几何法 即， 它表示一个圆心，半径的圆， 而 表示圆上的点与原点之间的距离， (则本题就是求原点到圆上点距离的最大值) 结合图形知，， 即的最大值是． 方法2 三角代换法 即， 设，， 则 而 (由辅助角公式可得) 的最小值为. 【点拨】 方法是从几何的角度入手，确定方程为圆的方程，根据两点距离公式确定是线段的长度，则问题转化为圆外一点到圆上点的距离最值问题.方法是三角代换法，圆的参数方程为，它是求最值问题的一大技巧. 巩固练习 1(★) 若点在圆：内，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】点在圆：内， ， 即，则． 的取值范围是． 2(★) 在圆上与点距离最大的点的坐标是　　 ． 【答案】 【解析】，点在圆外 圆上与点距离最远的点，在圆心与点连线上，且与点分别在圆心两