2.3 直线的交点与距离-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册)

直线的交点与距离 1两条直线的交点 设两条直线的方程是， 两条直线的交点坐标就是方程组的解. (1) 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2) 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； (3) 若方程组有无数个解，则两条直线重合. 2几种距离 (1) 两点距离公式 平面上的两点间的距离公式. (2) 点到直线的距离公式 点到直线的距离. (3) 两平行直线间的距离 两条平行线与间的距离.   【题型一】 直线交点问题 【典题1】 若关于的方程组有无穷多组解，则的值为　 　． 【解析】关于的方程组有无穷多组解， 则直线和直线重合， 故，，所以． 【典题2】 已知直线和相交，且交点在第二象限，则实数的取值范围为　 　． 【解析】联立方程，解得，(由于两直线相交，故) 因为交点在第二象限，所以，解得， 故实数的取值范围为． 【典题3】求过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【解析】 方法1 (求出交点，再用截距式求解) 由得交点坐标， 由于直线在两坐标轴上截距相等，(截距相等要注意是否为) 当截距为，此时直线方程为，代入点得， 即所求直线方程为. 当截距不等于，设直线方程为，代入点得， 此时所求直线方程为， 综上所述，所求直线方程为或. 方法2 设所求直线方程为， 当直线过原点时，则，则， 此时所求直线方程为. 当直线不过原点时，令，解得，令，解得， 由题意得，解得，此时所求直线方程为 , 中不包括直线，而它显然不满足题意， 综上所述，所求直线方程为或. 【点拨】本题中方法2采取了直线系方程的方法. 过两条已知直线和交点的直线系方程 (这个直线系下不包括直线，解题时注意检验是否满足题意) 【典题4】 若，直线与和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是　 　． 【解析】(确定所求的四边形面积，要四边形的图象，即了解两条直线与坐标轴的交点与两直线的交点) 由得，即两直线的交点为定点， 而直线：，与轴的交点， 直线：与轴的交点，与轴的交点， (由，很容易确定各点的位置) 如图所示， ， ，， 则， 故时，所求面积的取值范围是． 【点拨】 ① 根据题意画出正确的图象是正确求解的基础，对于含参的直线，要注意它是否存在定点、斜率的正负、与轴交点的位置等. ② 而定点如何确定，如直线：变式为易得过定点. 巩固练习 1(★) 曲线与的交点的情况是(　　) A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】 【解析】联立两条直线方程得：得到， 两边平方得：， 当即时，， 得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点． 当时，得到，与曲线只有一个交点． 所以曲线与的最多有两个交点． 2(★) 关于的二元一次方程组无解，则　 　． 【答案】 【解析】时，方程组化为：，无解，舍去． 时，两条直线平行时，可得：，无解． 综上可得：． 3(★) 若三条直线，和交于一点，则的值为　 　． 【答案】 【解析】依题意，，解得， 两直线和的交点坐标为． 直线，和交于一点， ，． 4(★★) 直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为　 　． 【答案】 【解析】由题意可得，解得，， 且，， 5 (★★★) 在平面直角坐标系中，已知点，点，点在线段的延长线上．设直线与直线及轴围成的三角形面积为，则的最小值为　 　． 【答案】 【解析】设与轴交点的横坐标为，则：，直线：， 由，所以 ，当且仅当，取等号， 故答案为：． 【题型二】 距离问题 情况1 两点间的距离 【典题1】 在平面直角坐标系内，到点，)，，的距离之和最小的点的坐标是　 　． 【解析】如图，设平面直角坐标系中任一点， 到点，，，的距离之和为： ， 故四边形对角线的交点即为所求距离之和最小的点． ，，，， 的方程分别为：，， 即，． 解方程组得． 【点拨】本题是从几何方法入手，利用“一点到两定点距离之和最小值为两定点距离”的三点共线最值模型求解；若设，再利用两点距离公式求解，就很麻烦了！ 【典题2】 设，的最小值为_______. 【解析】从几何意义看， +表示点到点和距离的和， 其最小值为和两点间的距离. 【点拨】 本题是函数最值问题，但很巧妙的使用了两点距离公式从而化为几何最值问题.平面上的两点间的距离，若给两点坐标我们用此公式很容易得到两点距离，若给了能够联想到两点距离公式呢？这里就提醒我们在掌握知识的“直用”也要会“逆用”. 【典题3】 已知，动直线：过定点，动直线：过定点，若与交于点异于点，则的最大值为　 ． 【解析】:可变形为，过定点， ：可变形为，过定点， 方法1 代数法 由可得交点， 则，， 设，，则，(发现