3.3 函数的奇偶性-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第一册)

函数的奇偶性 1 函数奇偶性的概念 ① 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. ② 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的. 2 性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 3 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数. ③ 取特殊值排除法(选择题) 比如：若根据函数得到，则排除是偶函数. ④ 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数； 一个奇函数与偶函数的积为奇函数. 对于复合函数的奇偶性如下图 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 【题型一】对函数奇偶性概念的理解 角度1 函数奇偶性的概念 【典题1】 已知是定义在上的偶函数，那么的值是 . 【解析】依题意得，， 又(奇偶函数的定义域关于原点对称)， ，． 【典题2】 是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是________： 【解析】根据奇函数的定义可知，则(1)，(2)正确； 对于故正确； 对于是定义在上的奇函数，则则(4)不正确，故答案为：. 角度2 判断函数的奇偶性 情况1 具体函数的奇偶性判断 【典题1】函数的图象关于 对称． 【解析】要使函数有意义，则，即， 解得或，则定义域关于原点对称． 此时，则函数，(化简函数形式很重要) ， 函数是奇函数，图象关于原点对称， 【点拨】本题利用定义法判断函数的奇偶性，首先判断定义域是否关于原点对称，这点很重要； 情况2 抽象函数的奇偶性判断 【典题1】设是上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) 是奇函数 是奇函数 是奇函数 是奇函数 【解析】方法一 定义法 选项：设，则为偶函数． 选项：设， 则 关系不定． 选项：设为奇函数． 选项：设为偶函数． 故选. 方法二 取特殊函数排除法 令，可知是偶函数，排除， 令，可知排除， 可知是偶函数，排除. 【点拨】 ① 判断函数的奇偶性，一般利用定义法：先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系.偶尔结合函数图像也可以. ② 判断抽象函数的奇偶性时，可以通过“取特殊函数排除法”. ③ 一般情况下，奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数奇函数=偶函数，偶函数偶函数=偶函数. 巩固练习 1(★) 下列函数中，是偶函数的是(　　) 【答案】 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于，，，函数不是偶函数，不符合题意； 对于，，，函数是偶函数，符合题意； 对于，，，函数是奇函数不是偶函数，不符合题意； 对于，，是对数函数，不是偶函数，不符合题意； 故选：． 2(★) 函数的图象关于(　　)对称 ．原点 ． ．轴 ．轴 【答案】 ． 则，即函数是偶函数， 则函数的图象关于轴对称， 故选：． 3(★★) 若函数的定义域是，且对任意，都有成立．试判断的奇偶性． 【答案】 奇函数 【解析】在中， 令，得，. 再令，则，即， ，故为奇函数． 【题型二】函数奇偶性的运用 角度1 已知函数奇偶性，求值问题 【典题1】设为定义上上的奇函数，当时，为常数)，求. 【解析】因为为定义在上的奇函数， 所以，解得， 所以当时， 又因为为定义在上的奇函数， 所以，故选． 【点拨】若奇函数定义域内为，且，则有. 【典题2】 若函数是奇函数，为偶函数， 则 . 【解析】函数是奇函数， ，即，则 ①， 为偶函数， ，即，则 ②， 由解得． 角度2 判断函数的图像 【典题1】 函数的图象大致为(　　) A． B． C． D． 【解析】函数的定义域为关于原点对称，且， (或由均是奇函数，得是偶函数) 即函数为偶函数，其图象关于轴对称，可排除； 又，可排除； 故选：． 【点拨】选择题中判断函数的图像，可采取排除法，主要是研究函数性质(定义域、值域、奇偶性、单调性等)、取特殊值等手段进行排除选项！其中取特殊值排除法最简单. 巩固练习 1(★) 若函数的图象关于轴对称，则