3.2 函数的单调性-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第一册)

函数的单调性 1 函数单调性的概念 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(图①).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(图②).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. Eg：在上单调递减，但它不是减函数， 特别注意它的减区间是，不是. 2 单调性概念的拓展 ① 若递增，，则. 比如：递增，则. ② 若递增，，则. 比如：递增则. 递减，有类似结论！ 3 判断函数单调性的方法 ① 定义法 解题步骤 (1) 任取，且； (2) 作差； (3) 变形(通常是因式分解和配方)； (4) 定号(即判断差的正负)； (5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)． ② 数形结合 ③ 性质法 增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. ④ 复合函数的单调性 (1)如果则称为的复合函数； 比如： (和的复合函数)； (和的复合函数)； (和的复合函数). (2) 同增异减 设函数的值域是，函数 若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增； 若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减. 4 函数的最值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有；(2)，使得； 那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义) 简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.   【题型一】对函数单调性的理解 【典题1】 函数在是增函数，若，则有 ( ) 【解析】 又函数在上是增函数， 故选. 【典题2】已知函数在上是单调函数，且对任意，都有， 则的值等于 . 【解析】函数在上是单调函数 可设(是个常数)，则； ； 在上单调递增，只有时对应的函数值是，即； ； 【点拨】函数若是单调函数，即函数是“一一对应”的关系，一个对应一个，所以题目中“”只能是个常数. 巩固练习 1(★★) 设，函数在区间是增函数，则(　　) ． ． 【答案】 【解析】根据题意，， 又由函数在区间上是增函数，则有； 故选：． 2(★★) 已知是定义在上单调递增的函数，则满足的取值范围是 . 【答案】 【解析】是定义在上单调递增的函数， 不等式等价为，即， 即不等式的解集为， 【题型二】 判断函数单调性的方法 方法1 定义法 【典题1】判断在的单调性. 【解析】设 则 (因式分解方便判断差的正负) (1) 假如则 又所以故函数单调递减； (2) 假如则 又所以故函数单调递增； 所以函数在内单调递减，在内单调递增． 【点拨】利用定义法证明函数的单调性，注意熟练掌握解题的步骤：设元—作差—变式—定号—下结论. 方法2 数形结合 【典题2】函数的单调增区间是 (　　) 【解析】 (分离常数法) 的图象是由的图象沿轴向右平移个单位，然后沿轴向下平移个单位得到, 如下图 的单调增区间是．故选．(切勿选) 【点拨】 ① 本题先利用分离常数法，再利用函数的平移变换得到函数的图像从而得到函数单调性. ② 利用数形结合的方法，平时需要多注意函数图像的变换，包括平移变换、对称变换、翻转变换等. 方法3 复合函数的单调性 【典题3】函数的单调减区间为 . 【解析】函数是由函数和组成的复合函数， 函数的定义域是 (优先考虑定义域，否则容易选) 由二次函数图像易得在单调递减，在单调递增， 而在是单调递增， 由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间． 【点拨】 ① 研究函数的基本性质，优先考虑定义域； ② 研究复合函数，要弄清楚它由什么函数复合而成的. 巩固练习 1(★) 下列四个函数在是增函数的为(　　) 【答案】 【解析】对于，二次函数，开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故不对． 对于，一次函数，，在是减函数，故不对． 对于，二次函数，开口向下，对称轴为，在)是增函数，故C不对． 对于，反比例类型，，在是增函数，故对． 故选：． 2(★)设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是(　　) ．在上为减函数 ．在上为增函数 ．在上为增函数 ．在上为减函数 【答案】 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于，若，则，在上不是减函数，错误； 对于，若，则，在上不是增函数，错误； 对于，若，则，在上不是增函数，错误； 对于，函数在上为增函数， 则对于任意的，设，必有， 对于，则有， 则在上为减函数，正确； 故选：． 3(★) 函数的递减区间为 　． 【答