3.1函数的概念及其表示方法-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第一册)

函数的概念及其表示方法 一 函数的概念 1 概念 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2 定义域 ① 概念 函数自变量的取值范围. ② 求函数的定义域主要应考虑以下几点 (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于； (5)指数为零底不可以等于零；(6)抽象函数的定义域较为复杂. 3 值域 ① 概念 函数值的取值范围 ② 求值域的方法 (1)配方法 (2)数形结合 (3) 换元法 (4)函数单调性法 (5)分离常数法 (6)基本不等式法 4 区间 实数集表示为. 二 函数的表示方法 1表格法 如上表，我们很容易看到与之间的函数关系. 在初中刚学画一次函数图像时，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数. 2 图像法 如上图，很清晰的看到某天空气质量指数与时间两个变量之间的关系，特别是其趋势. 数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要. 3 解析式 求函数解析式的方法 (1)配凑法 (2)待定系数法 (3)换元法 (4)构造方程组法 (5)代入法   【题型一】 函数概念的理解 【典题1】 设集合给出如下四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是 ( ) 【解析】(本题相当把看成定义域，看成值域) 图象不满足条件，因为当时，中没有值与之对应. 图象不满足条件，因为当时，中没有值与之对应. 图象不满足条件，因为对于集合中的每一个值，在集合中有个值与之对应，不满足函数的定义. 只有中的图象满足对于集合中的每一个值，在中都有唯一确定的一个值与之对应，故选. 【典题2】 给定的下列四个式子中，能确定是的函数的是(　　) ① ② ③ ④ ． ① ② ③ ．④ 【解析】①由得，不满足函数的定义， 比如，，所以①不是函数． ②由得，， 所以，所以②不是函数． ③由1得，满足函数的定义，所以③是函数． ④要使函数有意义，则，解得，此时不等式组无解，所以④不是函数． 故选：． 【点拨】函数中自变量与函数值的关系是“一对一或多对一”的关系，不能是“一对多”. 【题型二】求函数的定义域 【典题1】 函数的定义域是 . 【解析】要使函数有意义，则，即. 即或，即函数的定义域为． 【典题2】 下列各组函数中表示的函数不同的是 (　　) ． ． 【解析】的定义域和对应法则相同，表示同一函数， 中的定义域是，定义域为， 两个函数的定义域不相同，不是同一函数.故选：． 【点拨】 ① 判断两个函数是否是同一函数，看函数的定义域和解析式是否均相同； ② 函数反应的是两个变量的关系，至于用什么字母表示都一样，故选项的 是同一函数. 【典题3】 已知定义域为，求的定义域. 【解析】 故函数的定义域是. 【点拨】抽象函数的定义域理解起来不容易，由于函数的解析式与字母的选择无关， 若把题目换成“已知定义域为，求的定义域.”好理解多了， ① 谨记定义域指的是自变量的取值范围， 所以由“定义域为”得到的是“”，“求的定义域”指的就是求的范围. ② 把“”和“”都看成整体，它们的范围是相等的 这样就有. 【题型三】求函数的值域 方法1 配方法 【典题1】 求函数在区间的值域. 【解析】 ，， 即的值域. 【点拨】配方法针对二次函数型的函数值域. 方法2 数形结合 【典题2】 求函数的值域. 【解析】(这是分段函数，两段函数均为二次函数，其图像易得，故可用数形结合求值域) ，开口向下，最大值为 而 开口向上，而， 可得到函数图像如右图，易得函数值域为. 【点拨】数形结合最大的好处是直观. 方法3 换元法 【典题3】 求函数的值域. 【解析】令，(要注意新变量的取值范围) 得， 原函数化为 (把函数转化为二次函数值域问题) 函数的值域为. 【点拨】本题利用换元法把不熟悉函数值域问题转化为熟悉的二次函数值域问题， 即求函数的值域的值域，其中特别注意不能忽略！这正是体现了数学中的“等价转化”思想. 【典题4】 函数在上的值域为　 　． 【解析】， (本题主要是注意到了和均可或的形式，故想到换元法) 令，因为，所以， 原函数的值域等价于函数的值域， 由二次函数的性质可知，，即所求函数的值域为． 【点拨】 ① 换元法的本质就是“整体思想”，它能把“不太友善的”表示