4.2 对数函数-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第一册)

对数函数 1对数的概念 ① 概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作 (底数，真数，对数) ② 两个重要对数 常用对数以为底的对数，记为； 自然对数以无理数为底的对数的对数，记为． ③ 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 ④ 结论 (1)负数和零没有对数 (2) 特别地，，， 2 对数的运算 如果，有 ① ② ③ ④ ⑤ 换底公式 利用换底公式推导下面的结论 ① ② ③ 特别注意：， 3 对数函数 ① 对数函数的概念 函数叫做对数函数，其中是自变量. ② 图像与性质 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高． 【题型一】对数的化简与求值 【典题1】求值 【解析】 【典题2】 若，且，，，则的值是 . 【解析】令． 则，，． (利用换底公式，把数值化为同底，有利于求值去掉) ， (，进行估值，要把其值的整数部分求出) (利用对勾函数可得) ， , 则， 则． 巩固练习 1 (★) 已知函数，则 . 【答案】 【解析】，∴． 则． 2 (★) 　 　． 【答案】 ＝9 ． 3(★★) 求值:　 　． 【答案】 【解析】 4(★★) 求值:＝　 　． 【答案】 【解析】 ＝． 故答案为：． 5(★★) 若，且，则的值　 　． 【答案】 【解析】，且， ，， ． 故选：． 6(★★★) 已知，，则＝　　. 【答案】 【解析】，，， ，， ，解得． 故答案为． 7(★★★) 已知，若，，则＝　　． 【答案】 【解析】； ； ；解得或； ；；；； 又； ；；或(舍去)；； ． 故答案为：． 【题型二】对数函数的图象及应用 【典题1】 函数的图象大致是(　　) ． ． ． ． 【解析】方法 ， 因，由对数函数的性质易得选. 方法 函数图象变换 故选． 【点拨】涉及对数函数型的函数，往往需要得到其图象，方法有 ① 利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象； ② 利用去掉绝对值得到分段函数得其图象. 【典题2】 设均为正数，且，，，则(　　) 【解析】 分别作出四个函数，，的图象，观察它们的交点情况．由图象知．故选． 【点拨】 ① 中是函数与的交点横坐标； ② 函数与互为反函数，图象关于直线对称. 函数与也是. 【典题3】 已知=，若，且，则的取值范围是 . 思考痕迹 已知条件，相当于与一直线相交于四个点，四点的横坐标是，所以想到数形结合. 【解析】 先画出=的图象，如图 互不相同，不妨设． 且，． 由图可知，关于对称, ，，即， 故，由图象可知， 由二次函数的知识可知， 的范围为． 【点拨】 遇到分段函数，经常用数形结合的方法画出函数图象，注意一些关键的临界值，比如处. 巩固练习 1(★) 已知，函数与函数的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】 【解析】，则 从而， 函数与函数的单调性是在定义域内同增同减 结合选项可知选， 故答案为 2(★) 已知图中曲线分别是函数，，，的图象，则的大小关系是(　　) A． B． C． D． 【答案】 【解析】选.由已知图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，再利用结合图象求解． 3(★★) 已知函数，若，且，则的取值范围是(　　) A．(2，+∞) B．[2，+∞) 【答案】 【解析】函数， 又因为，故，， 又知道， ，即， 设， 由对勾函数的性质可知在单调递减，，即， 故选：． 4(★★) 已知函数，若且，则(　　) ．随值变化 【答案】 【解析】函数的图象如下图所示： 有图可知，函数的图象关于直线对称， 又，且， 则． 故选： 5 (★★★) 已知函数，，则图象交于两点，则(　　) 【答案】 【解析】不妨设， 作出和的图象，由图象知，， 则， 则， 即，即，即， 故选：． 6 (★★★) 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是　 　． 【解析】根据已知画出函数图象： 不妨设， ，， ，， 解得，， ． 故答案为． 7 (★★★) 已知函数，，若对任意，总存在两个，使得，则实数的取值范