4.1 指数函数-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第一册)

指数函数 1 指数运算 (1) 次方根与分数指数幂 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. 注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， (2) 正数的正分数指数幂的意义 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) Eg ，. ② 正数的正分数指数幂的意义： ③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. (3) 实数指数幂的运算性质 ① ② ③ 2 指数函数概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 3 图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图 象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 【题型一】指数幂的化简与求值 【典题1】 求值. 【解析】原式 . 【点拨】一般可以带分数化假分数、小数化分数、根式化幂、整数化幂. 【典题2】已知，则的值为______. 【解析】由，两边平方得，则， 所以. 【点拨】注意，，之间平方的关系. 【典题3】化简________. 【解析】 . 【点拨】化简形如的式子，利用完全平方数处理. 巩固练习 1(★) 化简 . 【解析】原式． 2(★★) 如果，，那么　 　． 【解析】由，得， 则． 故答案为． 3(★★) 已知，则　 　． 【解析】由，可得，， ． 故选：． 4(★★) 　 　． 【解析】 ． 5(★★) 求值　 　． 【解析】. 6(★★★) 已知实数满足，则的取值范围是　 　. 【解析】设，， 又， ，； 即，解得； ； 由已知， ， 时，的最大值为；时的最小值为； 所以的取值范围是． 故答案为：． 7(★★★) 已知，则不可能满足的关系是(　　) ，， ，， ， ， ，则有， ，， ， ， ，故错误 故选：． 【题型二】指数函数的图象及应用 【典题1】函数的图象大致是(　　) ． ． ． ． 【解析】 方法1 函数， (利用去掉绝对值把函数变成分段函数) 当时，是增函数，当时，的减函数， 且时，，即图象过点； 符合条件的图象是． 故选：． 方法2 利用函数的图象变换 故选：． 【典题2】设函数，，且，判断与的大小关系. 【解析】 的图象可看成向下平移一个单位，再把轴下方的图象做翻转得到，其图象如下图所示， 由图可知，要使且成立， 则有且， 故必有且， 又，即为， ． 【点拨】涉及指数函数型的函数，往往需要得到其图象，方法有： ① 利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象； ② 利用去掉绝对值得到分段函数得其图象. 巩固练习 1(★) 二次函数与指数函数的交点个数有(　　) 个 个 个 个 【答案】 【解析】因为二次函数， 且时，，， 则在坐标系中画出与的图象： 由图可得，两个函数图象的交点个数是个， 故选． 2(★★) 若函数的图象和轴有交点，则实数的取值范围是(　　) 【答案】 时，， ； 由函数的图象和轴有交点， ，， 综上，实数的取值范围是． 故选：． 3(★★) 如图所示，函数的图象是(　　) ． ． ． ． 【答案】 【解析】=，时，时，．故选B． 4(★★) 已知实数满足等式，下列五个关系式：①；②； ③；④；⑤．其中可能成立的关系式有(　　) ．①②③ ．①②⑤ ．①③⑤ ．③④⑤ 【答案】 【解析】令和，即，如图所示 由图象可知①②⑤正确，故选B． 5(★★★) 若，则有(　　) 【答案】 【解析】构造函数，易得函数单调递增， 由，可得 ， 故选：． 【题型三】指数函数的性质及应用 角度1 比较指数式的大小 【典题1】 设，则(　　) 【解析】利用幂的运算性质可得， ，，， 再由是增函数，知． 故选：． 【典题2】已知，．，则这三个数的大小关系为(　　) 【解析】根据指数函数的性质可得：函数是减函数， ，，即． 又，， ，， 故选：． 【点拨】比较指数式的大小，主要是利用指数函数的单调性，具体方法有 ① 把指数幂化为同底，再利用指数函数的单调性比较大小； ② 若不能化为同底，可对指数幂进行估值，一般可以与，比较大小； ③ 利用第三个数作为两个数字大小比较的过