3.4 幂函数-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第一册)

幂函数 1 定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数． 2 常见幂函数图像 3 性质 ① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； ② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数． 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸； ③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 【典题1】已知幂函数过点则 (　　) ，且在上单调递减 ，且在单调递增 且在上单调递减 ，且在上单调递增 【解析】幂函数过点， ，解得， ，在上单调递减． 故选：． 【点拨】利用待定系数法求解函数解析式. 【典题2】下列命题中： ①幂函数的图象都经过点和点； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③当时，幂函数的图象是一条直线； ④当时，幂函数是增函数； ⑤当时，幂函数在第一象限内的函数值随的值增大而减小． 其中正确的是(　　) A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤ 【解析】①幂函数的图象都经过点，但不一定经过点，比如，故错误； ②幂函数的图象不可能在第四象限，故正确； ③当时，幂函数的图象是一条直线去除点，故错误； ④当时，如，幂函数在上是增函数，但在整个定义域为不一定是增函数，故错误； ⑤当时，幂函数在上是减函数，即幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小，故正确． 故选：． 【典题3】 如图所示是函数(且互质)的图象，则(　　) 是奇数且 是偶数，是奇数，且 是偶数，是奇数，且 是偶数，且 【解析】函数的图象的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数， 在第一象限内，函数是凸函数，故，故选：. 巩固练习 1(★) 已知幂函数的图象经过点，则的值为 　． 【答案】 幂函数过点， ，解得， ，. 2(★) 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则　 　． 【答案】 ， 幂函数为奇函数，且在上递减， 是奇数，且， ． 3(★) 图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取四个值，则相应于曲线，的依次为(　　) ． ． 【答案】 【解析】根据指数函数的单调性，时，， 相应于曲线，，，的依次为． 故选：． 4(★★) 已知幂函数y，的图象如图所示，则(　　) 均为奇数，且 为偶数，为奇数，且 为奇数，为偶数，且 为奇数，为偶数，且 【答案】 【解析】因为函数为偶函数，所以为偶数， 且由图象形状判定． 又因互质，所以为奇数．所以选． 5(★★) 已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，则(　　) 或 【答案】 【解析】幂函数在上是减函数， 则，解得； 又，，，； 当时，，图象关于原点对称； 当时，，其图象不关于原点对称； 当时，，其图象关于原点对称； 综上，的值是或． 故选：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（北京）股份有限公司13 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 幂函数 1 定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数． 2 常见幂函数图像 3 性质 ① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； ② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数． 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸； ③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 【典题1】已知幂函数过点则 (　　) ，且在上单调递减 ，且在单调递增 且在上单调递减 ，且在上单调递增 【典题2】下列命题中： ①幂函数的图象都经过点和点； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③当时，幂函数的图象是一条直线； ④当时，幂函数是增函数； ⑤当时，幂函数在第一象限内的函数值随的值增大而减小． 其中正确的是(　　) A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤ 【典题3】 如图所示是函数(且互质)的图象，则(　　) 是奇数且 是偶数，是奇数，且 是偶数，是奇数，且 是偶数，且 巩固练习 1(★) 已知幂函数的图象经过点，则的值为 　． 2(★) 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则　 　． 3(★) 图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取四个值，则相应于曲线，的依次为(　　) ． ． 4(★★) 已知幂函数y，的图象如图所示，则(　　) 均为奇数，且 为偶数，为奇数，且 为奇数，为偶数，且 为奇数，为偶数，