2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练(人教A版2019必修第一册)

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 一、一元二次不等式的相关概念 1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数） 3、一元二次不等式的解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。 二、一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 三、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 四、解一元二次不等式的步骤 第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集. 五、含参数的一元二次不等式讨论依据 1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； 2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； 3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。 题型一 解不含参数一元二次不等式 【例1】的解集为（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】因为时，解得或， 所以的解集为或.故选：B. 【变式1-1】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，解得：.故选：C. 【变式1-2】不等式的解集是（ ） A．R B． C．或 D． 【答案】B 【解析】由题意得所求，令，为开口向上的抛物线， ， 所以恒成立， 所以不成立，故的解集为.故选：B 【变式1-3】不等式的解集是（ ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】原式化为，即，故不等式的解集为.故选:D 【变式1-4】不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】依题意可得，故，解得或， 所以不等式的解集为或故选：B． 【变式1-5】求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1），解得： 不等式解集为：. （2），整理得：，即 解得：，不等式解集为：. （3），整理得： ，故不等式再实数范围内无解 不等式解集为：. 题型二 解含参数一元二次不等式 【例2】解关于的不等式： 【解析】方程的解为，， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【变式2-1】解关于x的不等式 【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】关于x的不等式，可化为 （1）当时，，解得． （2）当，所以 所以方程的两根为-1和， 当，即时，不等式的解集为或}， 当，即时，不等式的解集为． 当，即时，不等式的解集为或}． （3）当时， 因为方程的两根为—1和， 又因为，所以． 即不等式的解集是， 综上所述：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为或 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为或}. 【变式2-2】（多选）下列关于不等式的解集讨论正确的是（ ） A．当时，的解集为 B．当时，的解集为 C．当时，的解集为 D．无论a取何值时，的解集均不为空集 【答案】CD 【解析】对于A，当时，原不等式为，解得，故A不正确； 对于B，当时，原不等式为， 解得或，故B不正确； 对于C，当时，原不等式为， 解得或，故C正确； 对于D，由二次函数，开口向上， 所以无论a取何值时，不等式均有解，故D正确； 故选：CD. 【变式2