2.2 基本不等式-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练(人教A版2019必修第一册)

2.2 基本不等式 一、基本不等式的概念 1、两个不等式 重要不等式：,（当且仅当时取号）. 常见变形公式：、 基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）. 常见变形公式： ； 【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. （3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2、由公式和引申出的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 二、基本不等式的证明 1、法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 2、法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 三、基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，,， 过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即， 其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 四、利用基本不等式求最值 1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：含变数的各项均相等，取得最值. 2、积定和最小，和定积最大 （1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2. 题型一 对基本不等式的理解 【例1】若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取满足，且，此时，A错误； 取满足，且，此时，B错误； 可得，C正确； 取满足，且，此时，D错误.故选：C. 【变式1-1】设，，下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，，由均值不等式，， 当且仅当，即时取“”，A错误； 对于B，，所以，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，由，，，得， 当且仅当时，取“”，D正确.故选：D 【变式1-2】若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）.则不正确的不等式的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为，所以，成立，所以（1）不正确，（4）不正确； 因为，所以（3）正确； 都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正确．故选：C 【变式1-3】已知且，下列各式中最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，， 所以，， 由均值不等式可知，所以， 由上可知：， 所以四个式子中最大，故选：D. 【变式1-4】（多选）设a＞0，b＞0，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】A. ，当且仅当时，等号成立，故正确； B. 因为，正负不定，故错误； C. ， 当且仅当，时，等号成立，故正确； D. ，故正确； 故选：ACD 题型二 利用基本不等式证明不等式 【例2】已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>8. 【答案】证明见解析 【解析】由于为互不相等的正实数，且， 所以， 所以. 【变式2-1】设，为正实数，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】因为，为正实数，所以，，， 当且仅当时取等号， 所以， 即，当且仅当时取等号； 【变式2-2】设a，b为正数，且．证明： （1）： （2）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）， ，当且仅当“”时取“＝”， ，当且仅当“”时取“=”， 所以， 所以． （2）因为，所以 所以， 因为a，b为正数，且，所以， 所以， 所以． 【变式2-3】设a，b，c均为正数，且，证明： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）因为，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以， 即， 即，当且仅当时，等号成立. （2）因为