第一章 空间向量与立体几何同步单元必刷卷（培优卷）-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章空间向量与立体几何同步单元必刷卷（培优卷） 全解全析 1．C 【解析】 【分析】 由题意得到，列出方程，求出实数的值. 【详解】 由题意得：，所以，解得： 故选：C 2．D 【解析】 【分析】 根据四点共面结论：若四点共面，则且， 【详解】 若，，，四点共面，则，则 故选：D． 3．A 【解析】 【分析】 根据已知条件，由，利用向量数量积的定义及运算律即可求解. 【详解】 解：因为三棱锥中，，，， 所以， 故选：A. 4．C 【解析】 【分析】 根据空间向量垂直平行的性质判断即可 【详解】 由题，因为，故，又，故 故选：C 5．A 【解析】 【分析】 结合空间向量的夹角坐标运算公式以及三角恒等变换化简求出夹角的余弦值，进而可得到结果. 【详解】 因为，， 所以，， 设向量与的夹角为，则 ， 因为，所以，故向量与的夹角为， 故选：A. 6．A 【解析】 【分析】 根据空间向量的加减运算，即可求得答案. 【详解】 由题意得：， 故选：A 7．D 【解析】 【分析】 先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式求解. 【详解】 解：， 则， ， ， ， ， ， 所以， 故选：D 8．C 【解析】 【分析】 以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(2, x, 0)，A (2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，，求得平面AMN的法向量为，平面PMN的法向量，由空间向量的夹角公式表示出，对于A，B选项，令d =0，则 ，由函数的单调性可判断；对于C，D，当x=0时，则，令，利用导函数研究函数的单调性可判断. 【详解】 解：由题意，以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示, 设正方体的棱长为2，则P(2, x, 0)，A (2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N， 则， 所以， ， 设平面AMN的法向量为， 则，即， 令，则， 设平面PMN的法向量为， 则，即， 令，则， ， 对于A，B选项，令d =0，则 ， 显示函数在是为减函数，即减小，则增大，故选项A，B错误； 对于C，D， 对于给定的，如图，过作，垂足为，过作，垂足为， 过作，垂足为， 当在下方时，， 设，则对于给定的，为定值， 此时设二面角为，二面角为， 则二面角为，且， 故， 而，故即， 当时，为减函数，故为增函数， 当时，为增函数，故为减函数， 故先增后减，故D错误. 当在上方时，， 则对于给定的，为定值，则有二面角为， 且， 因，故为增函数，故为减函数， 综上，对于给定的，随的增大而减少， 故选：C. 9．AC 【解析】 【分析】 求得判断选项A；求得判断选项B；求得判断选项C；求得判断选项D. 【详解】 选项A：.判断正确； 选项B：.判断错误； 选项C：.判断正确； 选项D：.判断错误. 故选：AC 10．AD 【解析】 【详解】 根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可. 【解答】 解：，，是空间的三个单位向量， 由，，则，故A正确； ，，两两共面，但是，，不一定共面，，，可能两两垂直，故B错误； 由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面，才能作为基底，才能得到，故C错误； 若 是空间的一组基底，则，，不共面，可知也不共面，所以也是空间的一组基底，故D正确． 故选：AD. 11．BCD 【解析】 【分析】 以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设P点坐标为（x，y，2），然后利用向量可判断ABC的正误，当P为底面EFGH的中心时，外接球球心为棱AM的中点，然后可判断D. 【详解】 以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz． A（2，0，0），M（0，2，1），设P点坐标为（x，y，2）（），， 为求的最小值，找出点A关于平面EFGH的对称点，设该点为，则点坐标为 ∴ 故A选项错误． 由可得 故B选项正确． 时，即，此时由点P坐标为得到 点P轨迹是连接棱EF中点与棱EH中点的线段，其长度为线段HF的一半，即长为．故C选项正确． 当P为底面EFGH的中心时，由B选项知． 易得．∴外接球球心为棱AM的中点，从而求得球半径为． 故D选项正确． 故选：BCD． 12．ABD 【解析】 【分析】 对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解 【详解】 易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故A正确． 对于B, 如图所示, 以为坐标原点, 为轴, 为轴, 为轴, 建立空间直角坐标系, 则，, ，，， 所以 ，，， 设（），则 所以， 平面即 解之得 当为线段上