第一章 空间向量与立体几何同步单元必刷卷（基础卷）-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章空间向量与立体几何同步单元必刷卷（基础卷） 全解全析 1．D 【解析】 【分析】 根据空间四点共面的充要条件代入即可解决 【详解】 由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线 可得，解之得 故选：D 2．A 【解析】 【分析】 利用空间向量的基本定理求解. 【详解】 解：， ， ， ， 故选；A 3．A 【解析】 【分析】 由空间向量平行的坐标公式求出即可. 【详解】 由，解得，则. 故选：A. 4．B 【解析】 【分析】 先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解. 【详解】 解：， ， ， ， 所以， 故选：B 5．A 【解析】 【分析】 取的中点，连接，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得和所成角的余弦值. 【详解】 取的中点，连接，设， 因为是边长为的等边三角形，则， 因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，， ， 因此，和所成角的余弦值为. 故选：A. 6．C 【解析】 【分析】 将向量转化成，然后等式两边同时平方表示出向量的模，再根据向量的数量积求出向量与的夹角，而向量与的夹角就是二面角的补角． 【详解】 由条件，知． ， ，即， 所以二面角的大小为 故选：C． 7．A 【解析】 【分析】 根据空间点线面位置关系的向量表示，即可判断各命题的真假． 【详解】 对A，若，则直线平面或直线平面，A错误； 对B，若，则直线平面，B正确； 对C，设直线l与平面所成角的大小为，则，所以，C正确； 对D，设平面、所成锐角的大小为，则，所以，，D正确． 故选：A． 8．B 【解析】 【分析】 根据特殊位置即可判断出周长，根据等体积，可判断高最大，体积最大，根据线面垂直可判断线线垂直，根据二面角的向量求法即可作出判断. 【详解】 当时，是的中点， ,当 时，，,             故当时的周长并不是最小的.故A错. 当λ=0时， ,只需要面积最大体积就最大，此时重合，故B对. 当是中点时，平面 ,又平面，则 ，故C 错. 取中点为,则平面,以所在直线为轴，故建立如图所示空间直角坐标系，平面的法向量为 ,故 设平面的法向量为 所以   令 ，则 ，故 ，故D不对. 故选：B 9．AC 【解析】 【分析】 由向量共面定理可判断AC；取，为零向量可判断B；取，A，三点共线，点P与，A，不共线可判断D. 【详解】 由向量共面定理可知A正确； 当，为零向量可知B错误； 由向量共面定理可知共面，又因为共始点，所以点，，A，共面，故C正确； 当，A，三点共线，点P与，A，不共线时可知D错误. 故选：AC 10．AD 【解析】 【详解】 根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可. 【解答】 解：，，是空间的三个单位向量， 由，，则，故A正确； ，，两两共面，但是，，不一定共面，，，可能两两垂直，故B错误； 由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面，才能作为基底，才能得到，故C错误； 若 是空间的一组基底，则，，不共面，可知也不共面，所以也是空间的一组基底，故D正确． 故选：AD. 11．BCD 【解析】 【分析】 由空间向量平行的性质及空间向量模长，数量积，夹角的坐标运算进行判断即可. 【详解】 对于A选项：，不存在，使得，故A错误； 对于B选项：，，故B正确； 对于C选项：，， 则，故C正确； 对于D选项：，， 所以，故D正确； 故选：BCD. 12．ACD 【解析】 【分析】 在正三棱柱中，如图建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量可判断A；求出直线与BC的方向向量，通过异面直线所成角的向量公式可判断B；因为点M在内，所以设可表示出的坐标，由可求出的范围，再求出CM与平面ABC所成的角的正弦值可判断C；设，求出，，表示出可判断D. 【详解】 对于A，在正三棱柱中，为的中点，所以， 如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设平面，所以，则平面⊥平面，所以A正确； 对于B，，，设直线与BC所成角为，则，所以异面直线与所成角的余弦值为，故B不正确. 对于C，设平面，因为点M在内（包括边界）且， 所以设，则四点共面，则， 所以， 则，所以，所以， 因为，所以化简得：， 所以，解得：， 设CM与平面ABC所成的角为，所以 ， 所以CM与平面ABC所成的角的正弦值的最大值为，故C正确. 对于D，设，则、，因为，，所以，，则，，所以，所以当时有最小值，所以，所以，故D正确； 故选: ACD. 13．（答案不唯一） 【解析】 【分析】 先求得向量的坐标，再依据题给条件列方程去求向量的坐标即可解决. 【详解】 由点，可得， 又向量在上的投影向