专题强化训练一 空间向量在直线、平面平行垂直和角的应用-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题强化训练一：空间向量在直线、平面和角的应用 【考点梳理】 考点一：　空间中直线、平面的平行 1.线线平行的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2.线面平行的向量表示 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则 l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 面面平行的向量表示 设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 考点二：空间中直线、平面的垂直 1.线线垂直的向量表示 设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则 l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2.　线面垂直的向量表示 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 知识点三　面面垂直的向量表示 设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则 α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 考点三：角 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 【题型归纳】 题型一：空间向量证明直线与平面平行 1．如图，在四棱锥中，，，点F为棱CD的中点，与E，F相异的动点P在棱EF上. (1)当P为EF的中点时，证明：平面ADE； (2)设平面EAD与平面EBC的交线为l，是否存在点P使得平面PBD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 2．在棱长为1的正方体中，E为的中点，P、Q是正方体表面上相异两点．若P、Q均在平面上，满足，． (1)判断PQ与BD的位置关系； (2)求的最小值． 题型二：空间向量证明直线与平面垂直 3．如图，在四棱锥中，平面，底面是梯形，点E在上，． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 4．在直三棱柱中，且分别是的中点. (1)求BN的长； (2)求异面直线和所成角的余弦值； (3)证明：． 题型三：空间角的向量求法 5．如图，在四棱锥中，平面ABCD，M，N分别为PB，PD的中点，底面ABCD为正方形，且． (1)若，证明：平面AMN． (2)若平面MNA与底面ABCD所成锐二面角的大小为45°，求PC的长． 6．如图，在四棱锥中，和均为正三角形，且边长为，，，与交于点． (1)求证：平面 (2)求二面角的余弦值． 7．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，，平面平面ABCD. (1)证明：； (2)若，点E为棱AD的中点，求直线PE与平面PAB所成角的正弦值. 【专题突破】 一、单选题 8．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（       ） A． B． C．或 D． 9．如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（       ） A． B． C． D． 10．在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 11．直三棱柱中，，则与所成的角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 12．已知矩形ABCD，，，将沿AC折起到的位置若，则二面角平面角的余弦值的大小为（       ） A． B． C． D． 13．如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法错误的是（       ） A．平面平面 B．线段的最小值为 C．当，时，点D到直线的距离为 D．当P，Q分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为 二、多选题 14．给出下列命题，其中是真命题的是（       ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若平面，的法向量分别为，，则 D．若存在实数使则点共面 15．如图，在正三棱柱中，AB＝1，AA1＝2，D，E分别是的中点，则（       ） A． B．BE∥平面 C．与CD所成角的余弦值为 D．与平面所成角的余弦值为 16．已知四棱锥的底面为直角梯形，,底面，且,是的中点，则下列正确的有（       ） A．平面平面 B．与平面所成的角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．平面与平面所成二面角的余弦值为 1