专题强化训练二 空间向量在点线面距离、存在性问题的应用-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题训练二：空间向量在点线面距离、存在性问题的应用 【考点梳理】 1.点P到直线 l 的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 2.点P到平面α的距离 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为． 【题型归纳】 题型一：点到直线距离的向量求法 1．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（       ） A． B． C． D．6 2．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为(       ) A． B． C． D． 题型二：异面直线的向量求法 3．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（       ） A． B． C． D． 4．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（       ） A． B． C． D． 题型三：点到平面距离的向量求法 5．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点. (1)求到平面的距离； (2)点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的正弦值. 6．如图，在四面体中，平面，，，点在线段上． (1)当是线段中点时，求到平面的距离； (2)若二面角的余弦值为，求的值． 题型四：平行平面距离的向量求法 7．如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，的中点． (1)求证：平面平面EFG； (2)求平面与平面EFG间的距离． 8．如图所示的多面体是底面为ABCD的长方体被平面所截而得的，其中，，，. （1）求点C到平面的距离； （2）设过点平行于平面的平面为，求平面与平面之间的距离. 题型五：空间向量的存在性问题 9．如图，四边形是菱形，，平面平面，，，，． (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在点使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 10．如图1，在△MBC中，BM⊥BC，A，D分别为边MB，MC的中点，且BC＝AM＝2，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使PA⊥AB，如图2，连结PB，PC． (1)若E为PC的中点，求异面直线DE与PB所成的角大小； (2)线段PC上一动点G满足，判断是否存在，使得二面角G－AD－P的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【专题突破】 一、单选题 11．在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 12．已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（       ） A． B．2 C． D． 13．将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 14．若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于（       ） A． B． C． D． 15．已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，线段的中点分别为，，若异面直线与所成角的余弦值为，则（       ） A．1 B． C．2 D．3 16．已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（       ） A． B． C． D． 17．给出以下命题，其中正确的是（       ） A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与平行 B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．平面､的法向量分别为，，则 D．已知直线过点，且方向向量为 ，则点到的距离为 18．如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，点为棱上一点，满足，下列结论错误的是（       ） A．平面平面； B．点到直线的距离； C．若二面角的平面角的余弦值为，则； D．点A到平面的距离为． 二、多选题 19．在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（       ） A．顶点到平面的最大距离为 B．存在点，使得平面 C．的最小值 D．当为中点时，为钝角 20．如图，在正三棱柱中，AB＝1，AA1＝2，D，E分别是的中点，则（       ） A． B．BE∥平面 C．与CD所成角的余弦值为 D．与平面所成角的余弦值为 21．在棱长为1的正方体中，点，分别是上底面和侧面的中心，则（       ） A． B． C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成的角为60° 22．如图，正方形和矩形所在平面所成的角为60°，且，为的中点，则下列结论正确的有（       ） A． B．直线与所成角的余弦值是 C．直线与平面所成角的正弦值是 D．点到平面的距离是 23．如图，和所在平面垂直，且，，则（       ） A．直线与直线所成角的大小为 B．直