专题1.3 勾股定理的应用-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

专题1.3 勾股定理的应用 ( 目标导航 ) 1、利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题（梯子滑动、风吹莲动、折竹抵地、台风和爆破、航行和信号塔、速度等问题）。 2、解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　 【知识拓展1】梯子滑动问题 【微点拨】梯子滑动问题解题步骤： 1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离； 2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离； 3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。 注意：梯子长度为不变量。 主要题型：常见题型有梯子滑动、绳子移动等题型。 例1．（2021·江苏）如图，一架25米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端离墙有7米． （1）求梯子靠墙的顶端距地面有多少米？（2）小燕说“如果梯子的顶端沿墙下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由． 【答案】（1）24米；（2）不正确，理由见解析． 【分析】（1）利用勾股定理，即可求出答案； （2）由题意，先求出，，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：（1）如图， 由题意得，，∴∴即顶端距地面有24米 （2）她的说法不正确；由题意得，，， ∴，∴，∴， ∴梯子水平滑动了8米，∴她的说法不正确． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合思想的应用． 【即学即练1】 1．（2022·江苏八年级期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度． 【答案】2.2米 【分析】先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：在中，，米，米， ．在△中，，米，， ，，，米，米， 答：小巷的宽度为2.2米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 2．（2021·吉林九台·八年级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）． （2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）=；（2）小男孩需向右移动的距离为米． 【分析】（1）根据男孩拽绳子前后始终保持不变即可得； （2）由勾股定理分别求出AC，BC的长，然后根据（1）中结论求解即可． 【详解】解：（1）∵AC的长度是男孩拽之前的绳长，是男孩拽之后的绳长，绳长始终未变， ∴，故答案为：=； （2）∵A、B、F三点共线， ∴在中，， ∵，∴在中，， 由（1）可得：，∴，∴小男孩需移动的距离为米． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． 【知识拓展2】风吹草动和折竹抵地 【微点拨】风吹莲动问题解题步骤： 1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 折竹抵地问题解题步骤： 1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 注意：1）“莲花”高度为不变量。2）“竹子”高度为不变量。 主要题型：常见题型有莲花、芦苇、吸管、筷子、有竹子、风筝线、旗杆绳等题型。 例1．（2022成都市八年级月考）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB＋AC＝9尺，BC＝3尺，则AC=_____尺． 【答案】4 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，利用勾股定理构造方程解方程即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺， 根据勾股定理得：x2＋32＝（9﹣x）2解得：x＝4，答：折断处离地面的高度为4尺．故答案为：4. 【点睛】本