专题1.2 一定是直角三角形吗（勾股定理的逆定理）-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

专题1-2 一定是直角三角形吗（勾股定理的逆定理） ( 目标导航 ) 1、熟练掌握勾股定理逆定理判断直角三角形，能够运用勾股定理逆定理解决简单的实际问题。 2、理解勾股数的概念，并能准确判断一组数是不是勾股数。 3、熟练掌握分类讨论的数学思想。 ( 知识精讲 ) 知识点01 勾股定理的逆定理 1）勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。 2）勾股定理逆定理的证明：如图，AB=c，AC=b，CB=a，当a2+b2=c2，证明：△ABC是直角三角形。 证明：过点A作AD垂直于CB交CB于点D，设CD=x。 根据勾股定理b2－x2=c2－（a ±x）2 将a2+b2=c2代入得±2ax=0 ∴x=0 ∴点D与点C重合 ∴AC⊥CB ∴△ABC为直角三角形 注：勾股定理的逆定理主要用于证明三角形是直角三角形。 【微点拨】 1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. 2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 3）当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形. 【知识拓展1】直角三角形的判定 例1．（2021·福建福州市·八年级期中）△ABC三边分别为a、b、c，下列能说明△ABC是直角三角形的是（ ） A．b2＝a2﹣c2 B．a∶b∶c＝1∶2∶2 C．2∠C＝∠A＋∠B D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 【答案】A 【分析】根据勾股定理逆定理及三角形内角和可进行排除选项． 【详解】解：A、由可根据勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形，故符合题意； B、由a∶b∶c＝1∶2∶2可得，则△ABC是等腰三角形，故不符合题意； C、由2∠C＝∠A＋∠B结合三角形内角和可得∠C=60°，但不能判定△ABC是直角三角形，故不符合题意； D、由∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5结合三角形内角和可得，所以△ABC不是直角三角形；故选A． 【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理及三角形内角和，熟练掌握勾股定理逆定理及三角形内角和是解题的关键． 【即学即练1】 1．（2022·河南初二期中）适合下列条件的△ABC中, 直角三角形的个数为 ①②，∠A=45°;③∠A=32°, ∠B=58°； ④⑤⑥ ⑦⑹ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】根据勾股定理的逆定理，可分别求出各边的平方，然后计算判断：，故①不能构成直角三角形；当a=6，∠A=45°时，②不足以判定该三角形是直角三角形； 根据直角三角形的两锐角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形； 根据72=49，242=576，252=625，可知72+242=252，故④能够成直角三角形； 由三角形的三边关系，2+2=4可知⑤不能构成三角形； 令a=3x，b=4x，c=5x，可知a2+b2=c2，故⑥能够成直角三角形； 根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形； 由a2=25，b2=144，c2=169，可知a2+b2=c2，故⑧能够成直角三角形.故选：C. 点睛：此题主要考查了直角三角形的判定，解题关键是根据角的关系，两锐角互余，和边的关系，即勾股定理的逆定理，可直接求解判断即可，比较简单. 【知识拓展2】勾股定理的逆定理的应用 例2．（2021·天津八年级期中）如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AC，在Rt△ADC中，已知AB，BC的长，运用勾股定理可求出AC的长，在△ADC中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD的面积为Rt△ACD与Rt△ABC的面积之差． 【详解】解：连接AC， ∵∴AC=5cm， ∵CD=12cm，DA=13cm， ∴△ADC为直角三角形， ∴故四边形ABCD的面积为24cm2．故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出△ACD的形状是解答此题的关键． 【即学即练2】 2．（2021·绥德县德群中学八年级期末）某中学、两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量，米，米，米，米．（1）求出四边形空地的面积；（2）若每种植1平方米的花草需要投入120元，求学校共需投入多少元． 【答案】（1）四边形空地的面积为234平方米；（2）学校共需投入28080元． 【分析】（1）利用勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理得出∠ADC=90°，再利用即可得出答案；（2）利用120乘以四边形的面积即可得出结论． 【详解】解：（1）连接． 在中，∵，，，∴（米）． 在中，∵，，