专题1.1 探索勾股定理-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

专题1.1 探索勾股定理 ( 目标导航 ) 1、熟练掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题。 2、掌握勾股定理的证明方法，能够熟练地运用勾股定理解决弦图等相关问题． 3、熟练掌握重要的数学思想：方程思想。 ( 知识精讲 ) 知识点01 勾股定理 勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。 【微点拨】 1）仅直角三角形中存在勾股定理（若要使用勾股定理则需要有直角三角形或通过辅助线构造直角三角形）； 2）由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边（斜边）的平方等于两短边（两直角边）的平方和，只有c是斜边时才有a2+b2=c2，切不可死搬硬套公式。 3）利用勾股定理，若无法直接找出其中的两条边，则可设定一条边长为未知数，根据题目已知的条件能表示其他的边（可以是设定的未知数表示，也可以是具体的数字），再建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. 【知识拓展1】勾股定理的简单运用 例1．（2021成都市八年级数学期中）有一个面积为的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右“肩”上“生出”两个小正方形，这个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的图形，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，则“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，设直角三角形的三条边分别是，，， 根据勾股定理，得，即正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 同理：正方形D的面积+正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积=正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 推而广之，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．故选：D 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，理解“勾股树”的关系是解题关键． 【即学即练】 1．（2021·四川武外）如图，直角三角形的三边上的半圆面积之间的关系是（ ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】根据圆的面积公式求出三个半圆的面积，由勾股定理求出三边之间的关系，即可得出答案． 【详解】∵，同理， ∵由勾股定理得：，∴，∴，故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理及圆的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键． 【知识拓展2】勾股定理的方程思想 例2．（2022·陕西·西安电子科技大学附中八年级阶段练习）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设，则，由勾股定理得：在中，， 在中，，由题意可知：，所以：， 解得：．所以，应建在距点处．故选：． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 【即学即练】 2.（2021·江苏八年级期末）如图，等腰中，，，于，且．则__________． 【答案】 【分析】在Rt△BCD中，由勾股定理求出CD，再设AD=x，则AB=AC=AD+CD=6+x，最后在Rt△ABD中由勾股定理求出x即可求解． 【详解】解：在Rt△BCD中，由勾股定理可知， 设AD=x，则AB=AC=AD+CD=x+6，在Rt△ABD中，由勾股定理可知AB²=AD²+BD²，代入数据： (x+6)²=x²+8²，解得x=，∴， ∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，本题的关键是设AD=x，进而将AB用x的代数式表示，在Rt△ABD中使用勾股定理求出x求解． 知识点02 勾股定理的验证 据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。由于篇幅有限，我们就重点介绍最具代表性的“勾股圆方图”（即赵爽弦图）的证法。 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.（赵爽的证法） 　图（1）中，所以. 图（1） 图（2） 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.（毕达哥拉斯的证法） 图（2）中，所以. 【微点拨】 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。尤其是其中体现出来的“形数统一” 的思想方法，更具有科学创新的重大意义。以后的数学家大