第15讲 函数与方程-2023年高考数学一轮复习考点精讲精练+易错题型归纳（新高考专用）

第15讲 函数与方程 【基础知识网络图】 函数与方程 函数的零点 二分法 函数与方程的关系 【基础知识全通关】 知识点01．函数零点的理解 （1）函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x轴交点的个数． （2）变号零点与不变号零点 ①若函数在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点． ②若函数在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点． ③若函数在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，则是在区间（a，b）内有零点的充分不必要条件． 如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。 知识点02．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题 （1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根． （2）求曲线与的交点的横坐标，实际上就是求函数的零点，即求的根． 如果函数的图象不能画出，应通过适当的变形转换成另外的函数。 知识点03．关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题 （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程的根，可以构造函数），函数的零点即为方程的根． 知识点04．零点存在性定理 如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根. 特别提醒两个易错点： (1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根. (2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. 【考点研习一点通】 考点01：求函数的零点 1、函数，如果方程有四个不同的实数解、、、，则　 　． 【答案】4 【解析】 作出函数的图象， 方程有四个不同的实数解， 等价为和的图象有4个交点， 不妨设它们交点的横坐标为、、、， 且， 由、关于原点对称，、关于对称， 可得，， 则． 故答案为：4． 【总结提升】 1.正确理解函数的零点： (1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． (2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 2．函数零点的求法： (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．, 【变式1-1】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有解的和为（　　） A． B．1 C．3 D．5 【答案】C 【解析】 ∵是定义在R上的奇函数，且当时， ∴当时， 则 即 则 作出的图象如图： ∵的图象与的图象关于对称 ∴作出的图象，由图象知与的图象有三个交点 即有三个根，其中一个根为1，另外两个根a，b关于对称 即 则所有解的和为 故选：C． 【点拨】 根据函数奇偶性，求出函数的解析式，结合的图象与的图象关于对称，画出函数图象，结合函数的对称性，求得方程的所有解的和． 考点02：判断函数零点所在区间 2、函数的零点一定位于区间（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据零点存在性定理，若在区间有零点，则，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】 由题意得为连续函数，且在单调递增， ，，， 根据零点存在性定理，， 所以零点一定位于区间. 故选：C 【规律方法】 判断函数零点所在区间有三种方法： ①解方程，直接求出零点；②利用零点存在定理，判断零点所在区间；③图象法，观察交点所在区间. 特别提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断． 【特别提醒】 二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验． 【变式2-1】函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 根据零点存在性定理，由为增函数，带入相关数值判断即可得解. 【详解】 由为增函数，为增函数， 故为增函数， 由， ， 根据零点存在性定理可得使得， 故选：B. 考点03：判断函数零点的个数 3、已知图象连续不断的函数的定义域为R，是周期为2的奇函数，在区间上恰有5个零点，则在区间上的零点个数为（ ） A．