第14讲 二次函数与幂函数-2023年高考数学一轮复习考点精讲精练+易错题型归纳（新高考专用）

第14讲 二次函数与幂函数 【基础知识全通关】 知识点一 幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 知识点二 二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 【特别提醒】 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0. 【考点研习一点通】 考点01：二次函数的解析式 1.已知二次函数，满足且方程有两个相等实根． （1）求函数的解析式； （2）当且仅当时，不等式恒成立，试求，的值． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 （1）由，以及二次方程有两个相等实根的条件：判别式为0，可得，的方程，解方程可得所求解析式； （2）由，解不等式可得解集，再由题意可得原不等式的解集即为，，可得，的方程组，解方程可得所求值． 【详解】 解：（1）由，，可得，即，则， 方程有两个相等实根，即有两个相等实根，则， 所以，从而； （2）不等式即为，化为，由，可得， 则不等式的解集为，， 又当且仅当，时，不等式恒成立， 可得，，， 所以且，解得，． 考点02：二次函数图象的识别 2.对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图像不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 当时，函数单调递减，开口向下，对称轴在y轴的左侧，排除C，D； 当时，函数单调递增，开口向上，对称轴在y轴的右侧，排除B； 故选：A 考点03：二次函数的单调性问题 3.已知函数，. （1）若函数是区间上的单调函数，求实数的取值范围； （2）求函数在区间上的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）由二次函数的单调性，根据对称轴与区间的关系求解； （2）根据对称轴与区间的关系，分类讨论求解. 【详解】 因为， 所以函数的图象的对称轴为，且函数在区间上单调递减， 在区间上单调递增， （1）因为函数在区间是单调函数， 所以或， 所以实数的取值范围为. （2）（i）当，即时， 有在区间上单调递增， 所以， （ii）当，即时， 有在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 综上所述，函数在区间上的最小值. 考点04：二次函数的最值问题 4.已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12． （1）求的解析式； （2）设函数在上的最小值为，求的解析式． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 （1）根据二次函数的图像性质求出函数解析式；（2）结合二次函数的单调性，及对称轴和区间的位置关系，分类讨论求出最小值为 g(t)的解析式. 【详解】 （1）因为二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，所以可设， 又在区间上的最大值为12，所以，． ． （2），图象开口向上，对称轴为． ①当即时，在上是减函数，； ②当即时，； ③当时，在上是增函数，． 综上所述，. 【技巧点拨】 二次函数最值问题的类型及求解策略 (1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动． (2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． 考点05：二次函数的恒成立问题 5.已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，求实数a的取值范围． 【答案】． 【解析】 分类：适合，时，分离参数，求出右端的最小值即可得． 【详解】 由题可知2ax2＋2x－3<0在[－1，1]上恒成立． x＝0时，有－3<0恒成立；x≠0时，a<， 因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当＝1，即x＝1时，不等式右边取最小值，所以a<，且a≠0． 综上，实数a的取值范围是． 【总结提升】 由不等式恒成