第13讲 对数函数-2023年高考数学一轮复习考点精讲精练+易错题型归纳（新高考专用）

第13讲 对数函数 【基础知识网络图】 对数与对数函数 图象与性质 对数运算性质 对数函数的图像与性质 对数的概念 指对互化运算 【基础知识全通关】 知识点01对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 知识点02反函数 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 【知识拓展】 1.换底公式的两个重要结论 (1)logab＝；(2)logambn＝logab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R. 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限. 【考点研习一点通】 考点01：对数函数的概念与图象 【典例1】函数与函数在同一坐标系的图像只可能是（ ） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 当时，对数函数为增函数，当时函数的值为负.无满足条件的图像. 当时，对数函数为减函数，当时函数的值为正.C满足. 故选：C 【典例2】在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【典例3】在同直角坐标系中，与的图象可能是（ ） A． B．C． D． 【答案】A 【解析】 利用函数的单调性排除选项，以及根据函数的图象判断，再利用函数的对称性排除选项. 【详解】 函数的单调性与的单调性一致，两段区间都是单调递增，故排除BC，AD选项中，，当时，，即， 而关于点对称，因为，故排除D. 故选：A 【总结提升】 1.对数函数的解析式同时满足： ①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x. 2. (1)不管a>1还是0<a<1，底大图低； (2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴． 3.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决． 4．对数值logax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”． (1)当0<x<1,0<a<1或x>1，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax>0，即对数值为正数，简称为“同正”； (2)当0<x<1，a>1或x>1,0<a<1时，logax<0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax<0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”． 5．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题． 考点02：对数函数的性质及应用 【典例4】设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 根据指数运算与对数运算得，，，再根据即可判断，进而得答案. 【详解】 因为， ，， 所以，即 所以 故选：A 【典例5】若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设，则为增函数，因为 所以， 所以，所以. ， 当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误. 故选：B. 考点03 ：对数函数的性质及应用 【典例6】若函数 则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A. 【典例7】满足，且在单调递减，若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 为偶函数. ， ，. 在单调递减，，即. 故选：. 【典例8】【多选题】若实数，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】 构造函数，利用导数可得函数在上单调递减，由可推得A正确，由可推得B正确，当时，作差比较可知C错：作差，利用换底公式变形，再根据基本不等式判断符号，可得D正确. 【详解】 对A，令，则