第11讲 指数与对数的运算-2023年高考数学一轮复习考点精讲精练+易错题型归纳（新高考专用）

第11讲 指数与对数的运算 【基础知识全通关】 知识点01 根式 (1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ 知识点02 分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 知识点03 对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 知识点04 对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1). 【考点研习一点通】 考点01　指数幂的运算 1.化简a·b－2·÷(a，b>0) 【解析】原式＝－a－b－3÷ ＝－a－b－3÷＝－a－·b－ ＝－·＝－. 【答案】. 【方法技巧】 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【变式】若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝ C．(－2)0＝－1 D．(a)4＝ 【答案】D 【解析】对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确。 考点02 比较指数式的大小 2．设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， ， ， 所以. 故选D． 【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小； 【变式2】设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c　　　　　　　　 B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 【答案】C 【解析】因为函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5， 即b<a<1.因为函数y＝1.5x在(0，＋∞)上是增函数，0.6>0，所以1.50.6>1.50＝1，即c>1.综上，b<a<c. 考点03 解简单的指数方程或不等式 3.若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　) A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0 C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0 【答案】A　 【解析】(方法一)由2x－2y＜3－x－3－y，可得2x－3－x＜2y－3－y， 令f (x)＝2x－3－x，则f (x)在R上单调递增，且f (x)＜f (y)， 所以x＜y，即y－x＞0，由于y－x＋1＞1， 故ln(y－x＋1)＞ln 1＝0. (方法二)取x＝－1，y＝0，满足2x－2y＜3－x－3－y， 此时ln(y－x＋1)＝ln 2＞0，ln|x－y|＝ln 1＝0，可排除BCD． 【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解； 【变式3】设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3) B．(1，＋∞) C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 【答案】C 【解析】当a<0时，不等式f(a)<1可化为－7<1，即<8，即<，因为0<<1，所以a>－3，此时－3<a<0；当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1，所以0≤a<1.故a的取值范围是(－3，1)．故选C. 考点04　对数的化简与求值 4．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则 A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A 【解析】由题意可知、、，，； 由