1.1.2空间向量的数量积运算（练案）-【新教材精创】 2022-2023学年高二上学期数学同步备课 (人教A版2019选择性必修第一册)

班级： 姓名： 日期： 《1.1.2空间向量的数量积运算》练案 1.已知a，b是两个非零向量，则a·b=|a|·|b|是a与b共线的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由两个向量的数量积的定义知向量a与b夹角为0°，故a与b共线；反之，若a与b共线，a·b=|a||b|或a·b=-|a|·|b|. 2.空间四边形ABCD每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是 (　　) A.2· B.2· C.2· D.2· 【答案】C 【解析】2·=-a2,故A错.2·=-a2,故B错.2·=-a2,故D错,只有C正确. 3.（2022·宁夏银川市高二期末）如图，平行六面体，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为（ ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【解析】， ， 因此有：，所以的长.故选C． 4.（2022·海南高二月考）已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是（ ） A．5 B．10 C．12 D．不能确定 【答案】B 【解析】如图所示，由三角形中位线的性质可得,. 所以四边形EFGH是平行四边形， 因为， 所以 .故选B. 5.（2022·四川眉山市高二月考）在底面是正方形的四棱柱中，，， ，则（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】因为四棱柱中，底面是正方形，，，， 则， 所以 .故选A. 6.（2022·四川省内江市第六中学高二期末）如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点，则___________. 【答案】 【解析】设，则且两两夹角为 所以 ， 所以. 7.在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 . 【解析】画出对应的正四面体,设棱长均为1则 .,又. 又.设异面直线与所成角为则 8.已知在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求平行六面体的对角线AC1的长. 【解析】因为=++， 所以=(++)2=+++·+·+·=1+1+1+ 2(cos 60°+cos 60°+cos 60°)=6， 所以||=. 9.设ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,则有 (　　) A.·=a2 B. ·=a2 C.·=a2 D.·=a2 【答案】C 【解析】·=·(++)=·=-a2, ·=·=·(+)=·=a2, ·=·(++)=·=a2, ·=-·=-a2. 10.已知空间向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=3，|b|=1，|c|=4，则a·b+b·c+c·a的值为　　　　.  【答案】-13 【解析】因为a+b+c=0，所以(a+b+c)2=0，所以a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0， 所以a·b+b·c+c·a=-=-13. 11.已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为.点为的重心，若，，，，则__________；__________. 【答案】1; 【解析】 取的中点， ，又，空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为 ， 12.（2022·山西高二期末）如图，在平行四边形中，，，，沿着它的对角线将折起，使与成角，求此时，之间的距离． 【解析】因为， 所以，． 因为与成角， 所以或． 因为， 所以， 所以． 当时，，即； 当时，，即． 综上，可知，之间的距离为或． 13.已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是__． 【答案】8 【解析】由正四面体棱长为，其内切圆的半径为， 由题意，，是直径的两端点，可得，， 则， 当点在正四面体顶点时，最大，且最大值为， 则的最大值为. 14.如图所示，已知是所在平面外一点，，求证：在平面上的射影是的垂心． 【解析】∵， ∴，，，平面， ∴． 由题意可知，平面， ∴，，， ∴， ∴． 同理可证，． ∴是的垂心． 学