1.1.2空间向量的数量积运算（导学案）-【新教材精创】 2022-2023学年高二上学期数学同步备课 (人教A版2019选择性必修第一册)

《1.1.2空间向量的数量积运算》 导学案 参考答案 新课导学 （二）空间向量的数量积运算 【知识点1】向量的夹角 【探究】　将a，b移到共同的起点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做a与b的夹角，记作θ＝∠AOB，范围是[0, π]． 【思考】不对．∵－a与a，－b与b分别是互为相反向量， ∴〈-a，b〉＝〈a，-b〉＝π－〈a，b〉． 【知识点2】数量积运算 【探究】　定义|a||b|cos θ为a，b的数量积a·b. 【做一做1】 解析：根据数量积的定义知，A，B，C均不正确．|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|≤|a||b|，故D正确． 答案：D 【做一做2】解析：·＝(＋)·＝(·＋·)＝＝a2. 答案：C 【做一做3】解析：由于＝＋＋， ∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·) ＝12＋22＋32＋2＝25，故||＝5. 答案：5 【做一做4】解析：由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1， ∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6. 答案：B 【思考1】数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cosθ的乘积． 【思考2】不能，若a，b，c是非零向量，则a·b＝a·c得到a·(b－c)＝0，即可能有a⊥(b－c)成立． 【思考3】不能，向量没有除法，无意义． 【思考4】由定义得(a·b)c＝(|a||b|cosa，b)c，即(a·b)c＝λ1c；a(b·c)＝a(|b||c|cosb，c)，即a(b·c)＝λ2a，因此，(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)不一定成立 【知识点3】向量的投影 【探究】　设a，b是两个非零向量，如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，得到， 我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．设a与b的夹角为θ，则＝|a|cos θ.　　　 （三）典型例题 【例1】 解析：(1)·＝·＝||||cos〈，〉＝×1×1×cos 60°＝，所以·＝. (2)·＝·＝||||cos〈，〉＝×1×1×cos 0°＝，所以·＝. (3)·＝·＝||||cos〈，〉＝×1×1×cos 120°＝－，所以·＝－. 【巩固练习1】　解析：如图所示， (1)·＝||||cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝. (2)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1. 【例2】解析：因为＝－＝＋－，＝＋， 所以||2＝2＝(＋－)2＝2＋2＋2＝12＋22＋12＝6，||＝， ||2＝2＝(＋)2＝2＋2＝12＋22＝5，||＝， ·＝(＋－)·(＋)＝2－2＝22－12＝3， 所以cos〈，〉＝＝＝. 【变式探究1】解析：由例题知，||＝，||＝， ·＝(＋－)·(＋)＝2－2＝×22－12＝1， 所以cos〈，〉＝＝＝. 【变式探究2】解析：由已知得||＝||＝1，||＝2，·＝·＝·＝0， 因为|CA1|2＝2＝2＝2＋2＝12＋22＝5，所以||＝， 因为||2＝2＝(－)2＝2＋2＝12＋12＝2，所以||＝， 又因为·＝(＋)(－)＝－2＝－1， 所以cos〈，〉＝＝＝－. 所以异面直线CA1与AB夹角的余弦值为. 【巩固练习2】解析：不妨设正方体的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1， a·b＝b·c＝c·a＝0，＝a－c，＝a＋b. ∴·＝(a－c)·(a＋b)＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1. 而||＝||＝，∴cos〈，〉＝＝，∴〈，〉＝60°. ∴异面直线A1B与AC所成的角为60°. 【例3】解析：∵＝＋＋＝＋(－)＋(－)＝－＋＋. ∴·＝· ＝2－·－·＋·＋＋2 ＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2. 故||＝ ＝a.即|MN|＝a. 【巩固练习3】解析：＝＋＝＋(＋)＝＋[(－)＋(－)]＝－＋＋， ∴＝2＋2＋2＋2××·＋2××·＋2××·＝2. ∴||＝，即E，F间的距离为. 【例4】 证明：不妨设正方体的棱长为1，＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝a·c＝0. 由题图得：＝＋＝－－＝－b－c，＝＋＝－＋＝a－c， ＝＋＝－c＋(－a＋b)＝－a＋b－c. ∵·＝·＝a·b－b2＋b·c＋a·c－b·c＋c2， ·＝·＝－a2＋a·b－a·c＋a·c－b·c＋c2， 又∵|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝a·