专题1.2 空间向量基本定理（4类必考点）-2022-2023学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.2 空间向量基本定理 【考点1：空间向量基本定理解决几何问题】 1 【考点2：空间向量基本定理中的参数问题】 4 【考点3：基底的判断】 8 【考点4：基底的应用】 14 【考点1：空间向量基本定理解决几何问题】 【知识点：空间向量基本定理】 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z. 1．（2021秋•石家庄期末）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，点M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN：CA1＝1：4，则向量可表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据空间向量加法和减法的运算法则，以及向量的数乘运算即可求解． 【解答】解：因为在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，， 点M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN：CA1＝1：4， 所以 ， 故选：D． 2．（2022春•广东月考）在三棱锥A﹣BCD中，P为△BCD内一点，若S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，则（　　） A． B． C． D． 【分析】延长PB至B1，使得PB1＝2PB，延长PC至C1，使得PC1＝3PC，连接DB1，B1C1，C1D，由题意得出，P为△B1C1D的重心，由此用、和表示． 【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，P为△BCD内一点，如图所示： 延长PB至B1，使得PB1＝2PB，延长PC至C1，使得PC1＝3PC，连接DB1，B1C1，C1D， 因为S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，所以， 所以P为△B1C1D的重心，所以， 即23， 所以（）+2（）+3（）， 所以． 故选：C． 3．（2022春•河南月考）如图，在四面体OABC中，，点M、N分别在线段OA、BC上，且2OM＝MA，CN＝2NB，则等于（　　） A． B． C． D． 【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可． 【解答】解：∵点M、N分别在线段OA、BC上，且2OM＝MA，CN＝2NB， ∴，（）， ∴（）， ∴． 故选：D． 4．（2022春•安徽月考）在空间四边形ABCD中，，，，点M在AC上，且，N为BD的中点，则（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意用向量、和作基底，表示向量即可． 【解答】解：空间四边形ABCD中，，，，如图所示， 因为，N为BD的中点，所以 （）（） ． 故选：A． 5．（2021秋•三元区校级月考）如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，，设，，则　　（用来表示） 【分析】利用空间向量基本定理结合空间向量的加法、加法以及数乘运算求解即可． 【解答】解：因为M是四面体OABC的棱BC的中点，所以， 因为， 所以（）， 因为AP＝3PN， 所以， 所以． 故答案为：． 【考点2：空间向量基本定理中的参数问题】 【知识点：空间向量基本定理】 如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z. 1．（2022春•淮安区期中）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若，则x+y+z＝（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】利用空间向量的加减法运算用来表示，由此能求出结果． 【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心， ， ∵，∴x＝1，y＝z， ∴x+y+z＝2． 故选：C． 2．（2021秋•丽水期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段BD1中点，若， 则x+y+z＝（　　） A． B．1 C． D．3 【分析】利用向量运算法则直接求解． 【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段BD1中点， ， ∵，∴x＝y＝z， 则x+y+z． 故选：C． 3．（2021秋•慈溪市期末）已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若64λ，则λ＝（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决． 【解答】解：， 即， 整理得， 由A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得6﹣3+λ＝1，解得λ＝﹣2， 故选：B． 4．（2021秋•衡阳月考）如图四棱锥O﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，，则x+y+z＝　1　． 【分析】利用向量运算法则直接求解． 【解答】解：如图四棱锥O﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形， 则， ∵， ∴x+y+z＝1﹣1+1＝1． 故答案为：1． 5．（2021秋•孝感期中）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B和B1C1上的点，且BM＝3A1M，C1N＝2B1N．设，则