【新课】专题05 平面上的距离-2022年暑假高一升高二数学教材预习辅导讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

平面上的距离 【知识梳理】 一、两点间的距离 1.平面上任意两点间的距离公式为 . 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离. 2.中点公式： 平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2，)线段P1P2的中点是M（x0，y0）则。 二、点到直线的距离 平面上任意一点到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离为 . 三、两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间 的长. 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线(其中A与B不同时为0，且)间的距离 . 四、对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称. 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题,是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题. 设点关于点M(a,b)的对称点为P′(x,y),则有，所以，即点.特别地,点P关于坐标原点O的对称点为. 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为,则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系: ①（直线l的斜率存在且不为零）；②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即. 【例题精讲】 考点一：两点间的距离公式 1. 已知△ABC的顶点为A（2，1），B（﹣2，3），C（0，﹣1），则AC边上的中线长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【考点】两点间的距离公式．版权所有 【解答】解：根据题意，设AC的中点为D， △ABC的顶点为A（2，1），B（﹣2，3），C（0，﹣1），则D（1，0）， |BD|3， 故选：B． 2. 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，4），B（5，2），C（﹣1，﹣4），则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【考点】两点间的距离公式．版权所有 【解答】解：∵△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，4），B（5，2），C（﹣1，﹣4）， ∴|AB|2， |BC|6， |AC|4， ∴AC2＝BC2+AB2， ∴△ABC是直角三角形． 故选：B． 3. 已知点A（﹣2，﹣1），B（a，3）且|AB|＝5，则a的值为　　． 【考点】两点间的距离公式．版权所有 【解答】解：∵点A（﹣2，﹣1），B（a，3），且|AB|＝5， ∴5， ∴a＝1 或 a＝﹣5， 故答案为 1或﹣5． 4. 在平面直角坐标系中，已知点A（cos15°，sin15°），B（cos75°，sin75°），则|AB|＝（　　） A．1 B． C． D．2 【考点】两点间的距离公式．版权所有 【解答】解：∵|AB|2＝（cos15°﹣cos75°）2+（sin15°﹣sin75°）2＝2﹣2（cos15°cos75°+sin15°sin75°）＝2﹣2cos（﹣60°）＝2﹣21， ∴|AB|＝1， 故选：A． 5. 已知倾斜角为α的直线l上两点P（a，m﹣2），Q（b，m+3），α∈（0，），sin2α，则|PQ|＝（　　） A．5 B．5 或 C． D．5 【考点】两点间的距离公式．版权所有 【解答】解：根据题意，直线l的倾斜角为α，则k＝tanα， 若sin2α，即2sinαcosα， 则有，解可得tanα＝3或， 又由α∈（0，），则tanα＜1，则tanα， 又由直线l上两点P（a，m﹣2），Q（b，m+3），则有k＝tanα，则（b﹣a）＝15， 故|PQ|5； 故选：D． 考点二：点到直线的距离公式 6. 点（﹣1，2）到直线x﹣3y+1＝0的距离为（　　） A． B． C． D． 【考点】点到直线的距离公式．版权所有 【解答】解：点（﹣1，2）到直线x﹣3y+1＝0的距离为． 故选：B． 7. 已知点M（1，3）到直线l：mx+y﹣1＝0的距离等于1，则实数m等于（　　） A． B． C． D． 【考点】点到直线的距离公式．版权所有 【解答】解：根据题意，点M（1，3）到直线l：mx+y﹣1＝0的距离等于1， 则有d1，解可得m； 故选：D． 8. 已知点P（1，2），则当点P到直线2ax+y﹣4＝0的距离最大时，a＝（　　） A．1 B． C． D． 【考点】点到直线的距离公式．版权所有 【解答】解：因为直线2ax+y﹣4＝0恒过定点A（0，4）， 故当PA与直线垂直时，点P到直线的距离达到最大值，此时过P，A的直线的斜率为﹣2， 所以直线2ax+y﹣4＝0的斜率为， 故． 故选：B． 考点三：两条平行直线间的距离 9. 已知直线l1：x﹣2y﹣2＝0，l2：x﹣2y﹣1＝0