【新课】专题04 直线的交点坐标-2022年暑假高一升高二数学教材预习辅导讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

直线的交点坐标 【知识梳理】 两条直线的交点 1.已知两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,设这两条直线的交点为P,则点P既在直线l1上,也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标就是方程组的解. 2. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 点睛：如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解. 【例题精讲】 知识点1：直线交点问题 1. 直线 x+y=5与直线x-y=3交点坐标是(　　) A.(1,2) B.(4,1) C.(3,2) D.(2,1) 解析:解方程组因此交点坐标为(4,1). 答案:B 2. 直线与x轴交点的坐标为　（5，0）　． 【解答】解：直线中， 令y＝1+t＝0，解得t＝﹣1， 所以x＝2﹣3×（﹣1）＝5， 所以该直线与x轴交点的坐标为（5，0）． 故答案为：（5，0）． 3. 已知P（2，3）是两条直线l1：a1x+b1y+1＝0与l2：a2x+b2y+1＝0的交点，试求过A（a1，b1），B（a2，b2）两点的直线方程． 【解答】解：因为P（2，3）是两条直线l1：a1x+b1y+1＝0与l2：a2x+b2y+1＝0的交点， 则有， 故点A（a1，b1），B（a2，b2）的坐标满足方程2x+3y+1＝0， 所以过A（a1，b1），B（a2，b2）两点的直线方程为2x+3y+1＝0． 4. 已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是　　　　　.  解析:由 由∴-<a<2. 答案:-,2 5. 已知直线kx﹣y+1＝0和x﹣ky＝0相交，且交点在第二象限，则实数k的取值范围为（　　） A．（﹣1，0） B．（0，1] C．（0，1） D．（1，+∞） 【解答】解：联立方程， 解得， 因为交点在第二象限， 所以，解得﹣1＜k＜0， 故实数k的取值范围为（﹣1，0）． 故选：A． 6. 两直线2x+3y﹣k＝0和x+ky﹣12＝0的交点在y轴上，那么k的值是（　　） A．﹣24 B．6 C．±6 D．24 【解答】解：∵两直线2x+3y﹣k＝0和x+ky﹣12＝0的交点在y轴上， 令x＝0，可得y＝＝，解得k＝±6． 故选：C 7. 若三条直线y＝2x，x+y＝3，mx﹣2y﹣5＝0相交于同一点，则m的值为　9　． 【解答】解：联立，解得， ∴两条直线y＝2x与x+y＝3的交点坐标为（1，2）， 又三条直线y＝2x，x+y＝3，mx﹣2y﹣5＝0相交于同一点， 把（1，2）代入mx﹣2y﹣5＝0，得m﹣2×2﹣5＝0，即m＝9． 故答案为：9． 8. （2020秋•迎江区校级期中）已知两直线l1：x﹣2y+4＝0，l2：4x+3y+5＝0． （1）求直线l1与l2的交点P的坐标； （2）求过l1，l2交点P，且在两坐标轴截距相等的直线方程； （3）若直线l3：ax+2y﹣6＝0与l1，l2不能构成三角形，求实数a的值． 【解答】解：（1）由，解得：， 所以点P的坐标为（﹣2，1）； （2）设所求直线为l， （i）当直线l在两坐标轴截距不为零时， 设直线方程为：，则，解得t＝﹣1， 所以直线的l方程为，即x+y+1＝0； （ii）当直线l在两坐标轴截距为零时， 设直线方程为：y＝kx，则1＝k×（﹣2），解得， 所以直线的l方程为，即x+2y＝0； 综上，直线的l方程为x+y+1＝0或x+2y＝0； （3）（i）当l3与l1平行时不能构成三角形，此时：a×（﹣2）﹣2×1＝0，解得a＝﹣1； （ii）当l3与l2平行时不能构成三角形，此时：a×3﹣2×4＝0，解得； （iii）当l3过l1，l2的交点时不能构成三角形，此时：a×（﹣2）+2×1﹣6＝0，解得a＝﹣2． 综上，当a＝﹣1或或﹣2时，不能构成三角形． 知识点2：方程组解的个数与直线位置关系 9. 分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点. (1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; (2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; (3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. 思路分析:直接将两直线方程联立方程组,根据方程组解的个数判断两直线是否相交. 解:(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3,-1). (2)方程组有无数个解, 这表明直线l1和l2重合. (3)方程组无解, 这表明直线l1和l2没有公共