第05讲 全称量词与存在量词-2022年暑假新高一数学预习讲解+训练（人教A版2019）

第05讲 全称量词与存在量词 【学习目标】 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词. 2.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性. 【考点总结】 一、全称量词与全称量词命题 1.短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示. 2.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题. 3.全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”. 4.全称量词命题的真假判断:要判断一个全称量词命题量词是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个∈M,使得p()不成立即可. 二、存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示. (2)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. (3)存在量词命题的表述形式:存在M中的一个,使p()成立,可简记为:∃∈M,p(),读作“存在M中的元素,使p()成立”. (4)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个,使得命题p()成立即可;否则这一命题就是假命题. 三、全称量词命题与存在量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 ∀x∈M,p(x) ∃∈M,p() 否定 ∃∈M,p() ∀x∈M,p(x) 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定是全称量词命题 【例题讲解】 【类型】一、全称量词与全称量词命题 例1、将a2+b2+2ab＝（a+b）2改写成全称量词命题是（　　） A．∃a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2 B．∃a＜0，b＞0，a2+b2+2ab＝（a+b）2 C．∀a＞0，b＞0，a2+b2+2ab＝（a+b）2 D．∀a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2 【分析】根据全称量词命题的定义进行改写即可． 【解答】解：命题对应的全称量词命题为：∀a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2 故选：D． 【点评】本题主要考查含有量词的命题的理解，比较基础． 【训练】1、用符号“∀”“∃”表达下列命题． （1）实数都能写成小数的形式； （2）存在一实数对（x，y），使x+y+3＜0成立； （3）任一实数乘﹣1，都等于它的相反数； （4）存在实数x，使得x3＞x2． 【分析】根据全称量词命题可以表示为“∀x∈R，P（x）”， 存在量词命题可以表示为“∃x∈R，P（x）”； 分别写出对应的命题即可． 【解答】解：对于（1），实数都能写成小数的形式， 即：∀x∈R，x可以写出小数的形式； 对于（2），存在一实数对（x，y），使x+y+3＜0成立； 即：∃有序数对（x，y），且x∈R，y∈R，有x+y+3＜0； 对于（3），任一实数乘﹣1，都等于它的相反数； 即：∀x∈R，﹣1×x＝﹣x； 对于（4），存在实数x，使得x3＞x2； 即：∃x∈R，x3＞x2． 【点评】本题考查了全称量词命题和存在量词命题应用问题，是基础题． 【类型】二、全称量词命题与存在量词命题的否定 例2、写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)数列：1，2，3，4，5中的每一项都是偶数； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0. 解　(1)是全称量词命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行. (2)是全称量词命题，其否定：数列：1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数. (3)是全称量词命题，其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在. (4)是全称量词命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0. 规律方法　全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定. 【训练】2、已知p：“∀x∈R，x2﹣2mx+m2﹣4＝0”，则￢p为（　　） A．∀x∈R，x2﹣2mx+m2﹣4＝0 B．∃x0∈R， C．不存在x∈R，x2﹣2mx+m2﹣4＝0 D．∀x∈R，x2﹣2mx+m2﹣4≠0 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 【解答】解：由题知，￢p为“∃x0∈R，”． 故选：B． 【点评】本题考查含量词命题的否定．是基本知识的考查． 【针对训练】 一、单选题 1．下列命题中是全称量词命题的是(　　) A．圆有内接四边形 B． C． D．若三角形的三边长分别为3,4,5，则这个三角形为直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】 含有特称量词“有