第10讲 二次函数与一元二次方程-【暑假新课预习】2022年九年级数学暑假预习课（人教版）

第10讲 二次函数与一元二次方程 【学习目标】 1、掌握二次函数与方程的关系 2、数量掌握二次函数与一元二次方程之间的转换 【基础知识】 知识点01 二次函数与一元二次方程之间的关系 【注意】 (1)如果二次函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标是,那么当时，函数值是0.因此, 是一元二次方程(a≠0)的一个根. (2)一元二次方程(a≠0)的根的情况和二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点的情况密切相关﹐其中判别式起着重要的作用. (3)当抛物线(a≠0)的顶点在x轴上,即抛物线与x轴只有一个公共点时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，不要将二者混淆，对“数”来说是两个,对“形”来说是一个. 2、抛物线与x轴的位置关系与一元二次方程根的情况 判别式 二次函数（a≠0） 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 二次函数的图像与x轴交于 两点，且 ，此时函数图像与x轴有 个交点 有 的实数根 二次函数的图像与x轴交于，此时函数图像与x轴有 个交点 有 的实数根 二次函数的图像与x轴 【注意】 解一元二次方程的实质就是求当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0时的自变量x的取值,反映在图象上就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标. 知识点02 利用二次函数图象求一元二次方程根的近似值的步骤 【示例】 利用二次函数的图象求一元二次方程 的实数根(精确到0.1). 步骤1 画出函数 (a≠0)的图象 解:在平面直角坐标系内作出函数的图象,如图所示. 步骤2 确定抛物线与x 轴交点的个数, 看交点的横坐标在哪两个数之间 由图象可知,方程的根是抛物线与x轴的交点的横坐标,左边的交点横坐标在 之间,右边的交点横坐标在 之间. 步骤3 列表,根据题目实际情况在两个数之间合理取值,并用计算器算出每个工值所对应的函数值y ,近似根在对应y值 的地方 (1)先求在—2和—1之间的根,利用计算器进行探索: (2)另一个根可以类似地求出: 步骤4 根据精度要求写出方程根的近似值 由(l),知 是方程 的一个实数根; 由(2),知 是方程 的另一个实数根. 故一元二次方程的实数根为 【注意】 二次函数与一元二次不等式的关系 （1）抛物线(a≠0)在x轴 的部分的点的纵坐标都是正数,所对应的x的所有值就是不等式(a≠0)的解集; （2）在x轴 的部分的点的纵坐标都是负数,所对应的x的所有值就是不等式的解集.不等式中如果带有等号,其解集也相应带有等号. 【考点剖析】 考点一：二次函数与方程的理解 例1．画出二次函数的图象,根据图象回答下列问题: (1)图象与x轴的交点坐标是什么? (2)当x取何值时y=0?这里x的取值与方程有何关系? (3)你能从中得到什么启示? 考点二：二次函数图象与一元二次方程的解 例2．画出适当的函数图象,求一元二次方程的解. 【方法总结】 二次函数的图象与一元二次方程的解之间有着千丝万缕的联系，一元二次方程的问题在二次函数的图象上均有体现,解决与一元二次方程的解有关的问题的常用转化思路是把方程问题转化为一条抛物线与α轴的交点问题或两个函数图象的交点问题来处理. 考点三：判断二次函数图象与x轴的交点情况 例3．抛物线坐标轴的交点数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【方法总结】 判断抛物线与坐标轴交点个数的方法 (l)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点个数的判断方法: ① 时,抛物线与x轴有2个交点; ②时,抛物线与,轴有1个交点; ③ 时,抛物线与x轴没有交点. (2)抛物线与y轴总有一个交点(0,c). 考点四：利用二次函数图象与x轴的交点情况求字母的值或取值范围 例4． 抛物线 与x轴有两个不同的交点,则m的取值范围是（ ） A.m<2 B.m>2 C. D. 【方法总结】 根据抛物线与x轴交点的个数，可以确定出的符号,以此列方程或不等式即可求得字母的值或取值范围. 考点五：直线与抛物线的综合问题 例5．求当m取何值时,抛物线y=x2与直线y=x+m : (1)有公共点; (2)没有公共点. 【方法总结】 求直线与抛物线的公共点的问题可转化成求一元二次方程根的问题. 若直线与抛物线有公共点,则△≥0;若直线与抛物线无公共点,则△<0. 考点六：利用图象解决一次函数与二次函数比较函数值大小的问题