第09讲 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质-【暑假新课预习】2022年九年级数学暑假预习课（人教版）

第09讲 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质 【学习目标】 1、掌握二次函数一般式求顶点坐标的方法 2、掌握二次函数一般式的作图方法 3、掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质 4、掌握待定系数法求解析式的方法 【基础知识】 知识点01 y=ax2+bx+c的图像与性质 1、二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点坐标与对称轴 y=ax2+bx+c 由此得出顶点坐标为 ，对称轴为直线 【注意】 用配方法把二次函数y =ax2+bx＋c化为顶点式时要注意与一元二次方程配方法的区别: (1)提取二次项系数使其系数为1,是乘法分配律的逆运算,配方法解一元二次方程是方程两边同除以二次项系数. (2)注意“一加一减”:提取完二次项系数后,括号里要加上一次项系数一半的平方配成完全平方式,再减去一次项系数一半的平方,这里的一次项系数是提取了二次项系数之后的一次项系数. (3)要注意把这里的“ ”与一元二次方程求根公式中的“ ”区分开. 知识点02 y=ax2+bx+c的作图方法 （1）平移法 步骤1 步骤2 步骤3 配方,变为顶点式, 确定顶点坐标(h ,k ) 作出的图像 平移的图象﹐使顶点为(h ,k ) （2）五点法 步骤1 步骤2 步骤3 知识点03 y=ax2+bx+c的图像与性质 抛物线 y=ax2+bx+c（a＞0） y=ax2+bx+c（a＜0） 图像 开口方向 开口 开口 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 【注意】 （1）二次函数y=ax2+bx+c的图象是对称轴与y轴平行(或重合)的抛物线.对于几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小(即形状)完全相同,只是位置不同. （2）(或 )可以看成当 (或 )时,二次函数 的函数值. （3）若点 和点关于直线对称，则 ， ； （4）若抛物线过两点和，则抛物线的对称轴为直线 ； 知识点04 二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a ,b ,c符号的关系 系数 符号 图像特征 a 抛物线开口 抛物线开口 b 对称轴在y轴 对称轴为 对称轴在y轴 c 抛物线交于y轴 抛物线过 抛物线交于y轴 【注意】 “上正下负”“左同右异” (1)“上正下负”: ①抛物线的开口方向可确定a的符号: 图象开口向上,则 (为正数); 图象开口向下，则 (为负数). 简记为“上正下负”. ②抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号: 抛物线与y轴交于原点， ; 抛物线与y轴交于x轴上方, ; 抛物线与y轴交于α轴下方, . 简记为“上正下负”. (2)“左同右异”: 对称轴在y轴左侧, ; 对称轴在y轴右侧, . 简记为“左同右异”. 知识点05 用待定系数法求二次函数解析式的步骤 【示例】 已知抛物线过点（1，1），（-1,4）（3,0），求这条抛物线的解析式： 第1步 .设出二次函数的解析式 解:设抛物线对应的函数解析式为 第2步 把自变量的值与对应的函数值代入函数的解析式中,得到关于待定系数的方程组 第3步 解方程组求出待定系数 第4步 确定二次函数的解析式 【注意】 用待定系数法求二次函数的解析式时,要根据不同的已知条件,灵活选用解析式的形式，一般有如下三种: （1）若已知抛物线上三个点的坐标,则设一般式 (a≠0); （2）若已知抛物线的顶点坐标，则设顶点式 (a≠0); （3）若已知抛物线与工轴两个交点的坐标，则设交点式 (a≠0). 【考点剖析】 考点一：y=ax2+bx+c的图像与性质 例1．已知二次函数 （1）试确定函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）在同一平面直角坐标系内作出函数及； （3）根据函数的图像写出抛物线与抛物线的关系； 【方法总结】 （1）公式法：对称轴为直线，顶点坐标为 （2）配方法：运用配方法将一般式化为顶点式，即 ，