选择性必修5.1 导数的概念及其意义-高中数学思维馆(下)——公式方法大全(高中全学段通用)

。等习心得● 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义 1瞬时速度的定义 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. (2)一般地，设物体的运动规律是s=s(),则物体在，到。十△：这段时间内的平均速度为 △t s十》.如果△无限趋近于0时，会无限趋近于某个常数，我们就说当△无限趋近于0 △i 时会的极限是，这时。就是物体在时刻1=4时的瞬时速度，即瞬时速度。=四会 1ims6+4)-s) △t 2 函数的平均变化率 (A版】对于函数y=f(.x),设自变量x从x变化到x十△x,相应地，函数值y就从f(.xo)变化 到fa,十△).这时x的变化量为△，y的变化量为△y=f(x十△r)-f(x).我们把比值会，即 △y=f(x十△)一fo)叫做函数y=f(x)从x到十△x的平均变化率. △x △x (B版)一般地，若函数y=f(.x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则 称四变量的改变量与对位自变量的改变量的比是-产（或会-）)为两数y x2一1 f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率. 说明 (1)△x=x2一1称为自变量的改变量. (2)△y=y2-y1或△f=f(x2)-f(x1)称为因变量的改变量. (3)以x1,x2为端点的闭区间，在x<2时指的是[x,2],在0>2时指的是[x2,]. (4)平均变化率的实际意义是在以1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加一个单位，因变 量平均增加y个单位，如果自变量增加h个单位，那么因变量将增加A个单位. △x △x (5)△x≠0，当△x>0时，x2>x1;当△x<0时，x2<x1. (6)x2=x1十△x. (7)Ay=f+△)-f).△y=-y △x △x △xx2-x1 (8)平均变化率就是A(x1,f(x),B(x2,f(x2)两点连线的斜率. (9)当△x→0时，A(x1,f(x1),B(x2,f(.x2)两点连线无限接近于过点A的切线. (10)位移关于时间的平均变化率是平均速度. 179《一元函数的导数及其应用第运0 ●（等习心得）● 说明 (11)速度关于时间的平均变化率是平均加速度. (12)平均变化率刻画了函数图象在某一区间上的变化趋势，是曲线倾斜程度的数量化，曲 线的倾斜程度是平均变化率的直观化」 (B版)】 3 以直代曲 用直线段代替曲线段，这种方法称为以直代曲. 3说明 (1)以直代曲的应用条件：曲线连续、直线与曲线段的端点相同： (2)直线段越短，效果越好，因此可以通过无限分割达到无限逼近精确的结果： (3)直线段代表的是近似值，曲线段代表的是精确值，因此以直代曲是近似与精确的关系； (4)以直代曲体现了由量变到质变的思想. 4■ 函数在某点处的导数 《A版如果当△0时，平均变化率会无限趋近于一个确定的值，即会有极限，则称y=∫(x) 在x=x。处可导，并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x处的导数（也称为瞬时变化率），记作 f()或y'1r,即f(xn)=limAy=limf+△x)-f(xn) △r+0△x △x (B版)一般地，设函数y=f(.x)在xo附近有定义，自变量在x=x处的改变量为△x,当△x无限 接近于0时，若平均变化率=十△)一f)无限接近于一个常数，那么称常数6为函数 △x △.x f(x)在x=xo处的瞬时变化率.此时，也称f(x)在x。处可导，并称k为f(x)在x=x处的导数，记 作f(xo)=k. 说明 (1)“△x无限接近于0”用符号表示为“△x→0”，读作：△x趋向于0； （2)Ay=fm十△）-f)无根接近于一个常数k,用特号表示为f十△）-f）: △x △x △x (3)“当△r无根接近于0时，f十△）一f)无根接近于一个常装”之常用特号““表示为 △x 当△一0时，f+△）-fk,友者写成1imfm+△）=f)-k, △x △+0 △x 即f(xo)=lim f(x+△x)-f() 4→0 △x (4)fx)=f(x)l=x,; (5)当△x报小时，f)≈f+△）-f》,从而f十△)-f)≈f)Ac; △x (6)由上式得到瞬时变化率∫(x。)的实际意义：当自变量在x=xo处的改变量△x很小时， 因变量对应的改变量的近似值为f(x)△x; 高甲悬④公式大全>180 说明 方心得 （7)函数f(x)在x=x_。处的瞬时变化率就是在该点处的导数； （8)在x_。的附近有定义，是指存在区间(a，b)，使得x_0∈(a，b)； x)-f （9)f(x_a)=lim-x+Δ‘2，x⊖0 （10)lim-x+Δx)-f(x_2)1=k limx_0+Δx)-f(x=kf(x)。 Δr+0-__ΔxΔ0__Δx__=kf’(x，)， 函数f(x)在x=x