必修6.3 平面向量基本定理及坐标表示-高中数学思维馆(下)——公式方法大全(高中全学段通用)

。等习心得● 说明 (1)(a·b)·c≠a·(b·c); (2)实数的平方差公式、完全平方公式也成立，即(a十b)·(a一b)=a2-b,(a士b)2= a2士2a·b+b2. 6.3平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 1 平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对 实数入1，入2，使a=入1e1十入2e2.若e1,e2不共线，我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个 基底。 说明 (1)只有不共线的两个向量才能作为一组基底： (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一； (3)若入11十入2e2=0,则入1=入2=0； (4)从左向右看，是对向量a的分解，且表达式唯一，反之，是对向量a的合成： {x=m, (5)经常利用分解的唯一性求参数的值，如c=x十b=ma十b→ (y=n. 例如图，在△ABC中，点M,N分别是AB,AC的中点，点O是线段MN 上异于端点的一点，且满足AOA+3OB+4OC=0(入≠0)，求入的值. 圆选而求入的值，就是建立关于入的方程，燕后解这个方程即可， 解：x0+30i+40=00=-20-0C. 在一个平面内，任意一个向量在同一组基底下的表示是唯一的，因此可以考虑把向量OA再 用另一种方式进行表达，基底不变 利用三角形法则， Oi=OM+Mi=xN-号A店 -号屈-(oi-0i =(0成-0d)-2(0成-0i) =21o丽-号0+号oi, 故OA=(x-1)OB-x0C 77《平面向量及共应用第密通 ●（学习心得）● 又0=-30i-40元， x-1=- 解得λ=7. 说明 (1)在这里就是运用在同一组基底下，任意一个向量的表示唯一，而建立的方程组； (2)这两种表示的选择，一是根据已知条件，二是利用三角形法则； (3)解答本题还有一个关键的地方，就是利用三点M,O,N共线得到OM=xNM 2共线向量基本定理与平面间量基本定理的关系（补充） 在n维空间内，给定任意n个互不共线的向量e1,e2,,en,则这个空间内的任意一个向量a,都 可以用这一组向量e1,e2,…,en唯一表示，也就是存在一个有序实数组(x1,2,…,xn),使得a=e十 x2e2+…十xnem, 这一组向量{e1,e2,…,en}称为一个基底.因此， (1)在一维空间内，也就是在一条直线上，给定任意一个非零的向量，这条直线上的任意一个向量 都可以用这个非零向量唯一表示，这就是共线向量基本定理； (2)在二维空间内，也就是在平面内，给定任意两个不共线的向量，在这个平面内任意一个向量都 可以用这两个不共线的向量唯一表示，这就是平面向量基本定理， (3)平面向量基本定理可以看成共线向量基本定理的推广，共线向量基本定理也可以看成平面向 量基本定理的特殊情况. B版)直线上向量的坐标及其运算 1 数轴的建 给定一条直线1以及这条直线上一个单位向量e,在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向 为正方向，e的模为单位长度建立数轴 2 数轴上向量的坐标 对于（上的任意一个向量α，把它的始点平移到原点O,那么a的终点对应的数就是向量a的坐标. 单位向量前面的系数也是向量的坐标，如a=4e,则说向量a的坐标是4. 3求数轴上向量坐标的方法 (1)将向量用单位向量来表示，单位向量前面的系数就是向量的坐标； (2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标，就是向量的坐标. 4 直线上问量的坐标运算 设直线上两个向量a=OA,b=OB的坐标分别为x1,x2,即a=x1e,b=x2e,则 (1)a=b台x1=x2; 高甲悬④公式大全>78 （2)a+b的坐标是x_1+x_2﹔方心得 （3)a-b的坐标是x_1-x_2； （4)λa的坐标是λx_1﹔ （5)|a|=|x_1|﹔ （6)A的坐标为。x_1，B的坐标为x_2﹔ （7)AB=|AB|=|x_x-x_1|； (8)设M(x)是线段AB的中点。则x=2大要 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． （1)在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基 底。对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+ yj。平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a= (x，y)。 （2)在直角坐标平面中，i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0)。 (B版)平面向量的坐标及其运算 （1)向量垂直：平面上的两个非零向量a，b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b 垂直，记作a⊥b； 2)正交基底；如果平面向量的基底{e3