必修6.1 平面向量的概念&必修 6.2平面向量的运算-高中数学思维馆(下)——公式方法大全(高中全学段通用)

·(等习心得)· 第六章 平面向量及其应用 6.1平面向量的概念 1向量的相关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量. (2)数量：只有大小没有方向的量！ (3)有向线段的三要素：起点、方向、长度。 (4)向量的模：向量AB的大小称为向量AB的长度（或称模），记作AB. (5)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0.规定：零向量的方向是任意的. (6)单位向量：长度等于1个单位长度的向量与A共线的单位向量是士A店 IABI 说明 a是单位向量台a=1 (7)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.向量a与b平行，记作a∥b.零向量与任 意向量平行。 (8)相等向量：长度相等且方向相同的向量，相等向量有传递性 “说明 (1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量： (2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念，两个向量平行包含两个向量所在直 线共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； (3)平行向量无传递性（因为有0）； (4)A,B,C三点共线曰AB,AC共线， 2问量的表示 (1)几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB,注意起点在前，终点在后. (2)符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a,b,c等. (3)坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,为基底， 则平面内的任一向量a可表示为a=xi十y=(x,y),称(x,y)为向量a的坐标，a=(x,y)叫做向量a 的坐标表示.如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 71《平面向量及共应用第哈净 ●（学习位得） 6.2平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算 三角形法则 如图，已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫 atb 做a与b的和，记作a十b,即a十b=AB+BC-AC. 说明 (1)本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则： (2)利用三角形法则求向量的和时，各个向量需首尾顺次连接； (3)和向量等于首向量的起点到尾向量的终点对应的向量； (4)两个向量的和依然是一个向量， 2 平行四边形法则 (A版】以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作 b atb □OACB,则以O为起点的向量OC(OC是□OACB的对角线)就是向量a与b 的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 0 (B版)如图，平面上任意给定两个不共线的向量Q,b,在该平面内任取一点 A,作AB=a,AC=b,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,作出向量 4+b AD,因为BD=-AC,因此AD=AB+BD=AB+AC.这种求两向量和的作图方法 也常称为向量加法的平行四边形法则. 说明 (1)利用平行四边形法则求向量的和时，两个向量的起点需相同： (2)和向量的起点与两个加数向量的起点相同： (3)和向量的终点是平行四边形的对角的顶点 3 加法运算律 (1)a+b=b+a; (2)(a+b)+c=a+(b+c). 4多个向量的和向量 已知n个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为 终点的向量叫做这个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则. A1A=A1A2+A,A+…+A,1A 特别地，当A1与Am重合，即一个图形为封闭图形时，有A1A十A2A十…十A.1An十AA1=0. 高甲通公式大全》72 。等习心得● 5 向量的三角不等式 |a-Ib11≤a+b≤|a+|b. 由向量的三角形法则，可以得到 (1)当a,b不共线时，a+b<a+|b. (2)当a,b同向且共线时，a十b,a,b同向，则a+b=a+|bl. (3)当a,b反向且共线时，若|a>bl,则a+b与a同向，a+b1=a|-|b;若|a<|bl,则 a+b与b同向，a+b=|b|-|al. 6.2.2 向量的减法运算 1 相反向量 (1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作一a. (2)性质 ①零向量的相反向量仍是零向量. ②由两个向量和的定义易知，a十（一a)=(一a)+a=0. ③若a,b互为相反向量，则a=-b,b=-a,a十b=0. 2向量的减法的定义 (A版)向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a一b=a十（一b),因此减去一个向量相当 于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算叫做向量的减法. (B版)一般地，平面上任意给定两个向量a,b,如果向量x能够满足b十x=a,则称x为向量a与b的 差，并记作x=a一b. 说明 (1)此定义是利用向量加法的逆运算给出的 (2)向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a一b=a十（一b).求两个向量差的运算 叫做向量的减法.