必修5.6 函数y=Asin(ωx+φ)-高中数学思维馆(下)——公式方法大全(高中全学段通用)

●（学习位得）。 a “a的最大值是平 例2 设实数a使方程sinx十√3cosx=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1,x2,x3,则1十x2十 x3= 透柄 sinx十√3cosx=a的解就是“=”左右两边的两个函数图象交点的横坐标，因此考虑作出图 象，结合图象寻求三个根之间的关系」 解：令y=sinx十V3cosx=2sim(x+5）x∈[0,2x], 令1=x十否，则左边函数变为y=2n,1∈[晋，】，右边函数为y=a,是一个常数函数。 如图 y=2sin t 观察图象，要使两个函数的图象有三个交点，只有一种情况，那就是直线y=a经过y=2simt 的两个端点，即a=√3. 因此得出三个根为=变， 2,t33 7元 3 则=0：=号0=2x, 故十十得 说明 ()对应含参数的零点问题，通常优先考虑把参数与自变量分离到“=”的两边，然后分别作 函数图象，结合图象求零点个最或零点的和或参裁范围等问题； (2)如果参数与自变量不能分离，往往要进行分类讨论； (3)对于求零点和的问题，通常要考察对称性，利用对称性求解更简便，本题中的1,2关于 直线1=受对称： (4)思考：本题改为已知方程有两个不同的实根，求α的取值范围. 5.6 函数y=Asin(wx十9) 五点法作v=Asin(wx十o)的简图 五点法是设X=十e,由X取0，受x,,2x来求相应的x值及对应的y值，再捕点作图。 高甲8通公式大全》66 3π2 2π一9 。等习心得● w 8+ π一 2w w X=wx十9 0 3 2 2 2x y=Asin(wx+p) 0 0 -A 0 2 由y=sinx 的图象变换得到y=Asin(w.x十o)十b的图象 (1)先平移后伸缩 y=sinx的图象向左(p>0)或向右(g<0) y=sin(x十p)的图象 横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(>1) y 平移|个单位长度 到原来的二倍（纵坐标不变） n中9图象有y=Ana十p的区电上和下 到原来的A倍（横坐标不变） 平移b个单位长度 y= Asin(wx十o)十b的图象， (2)先伸缩后平移 y=sinx的图象 纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1) y 到原来的A倍（横坐标不变） y=Asin的图象横坐标伸长0<<I)或缩短o>1) 到原来的】（纵坐标不变） Asin(r)的图象向左g>0度向右0y=An(ar十p)的图象向上0减向下 →y=Asin(u.x+o)+b 平移号个单位长度 平移b个单位长度 的图象。 思考：怎样由y=Asin(ozx十p)的图象变换得到y=sinx的图象？ 3函数y=Asin(a.x十o)+b(其中A>0,w>0)的有关概念 (1)振幅是A: (2)最大值是A十b,最小值是-A十b; (3)周期是T=2x ) (④)颜率是f一会： (5)相位是ωx十p,初相是p; (6)对称轴是直线x十9=m十受(k∈Z)→x= -(k∈Z); (7)对称中心是函数图象与直线y=b的交点，即（飞π一，b,k∈Z. 4根据y=Asin(wx十e)十b的图象求其解析式 (1)A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A=最高点一最低点， 2 67《三角函数第运0 (等习位得)· (2)6的确定：根据图象的最高点和最低点，即b=最高点十最低点 2 (3)w的确定：结合图象，先求出周期，然后由T=2红(0>0)来确定0： (4)e的确定：把图象上的点的坐标代入解析式y=Asi(x十p)十b,然后根据p的取值范围确定. 5求三角函数最值或值域的常用函数形式 (1)y=asin.x+bcos x=√a2+bsin(.x十p),其中cosp= va2+b √a2+b2 (2)y=asin2x十bcos2x→y=Asin2.x+Bcos2x,再用(1)的方法. (3)y=asin'x十bcos x十c→变为关于cosx的二次函数. (4)y=asin十6sin(a,bc>0),令sinx=t,化为y=a1+的形式，利用对勾函数的单调性求最值. (5)y=a(sinx十cosx)十bsin xcos x,常用换元法，令t=sinx十cosx,t≤√2，则sin xcos x= 2,转化为关于，的二次函数进行求解。 (6)y=asin十b型 ccos x+d ①去分母，转化为Asin r+Bcos x=C的形式，再利用辅助角公式求最值； ②转化为斜率公式的形式，利用数形结合法求最值； ③利用万能公式，化为关于i=tan二的函数，再求最值. 例1 求两数)一产2的值或 解：（法一）数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的 点P(cosx,sinx)与定点Q(2,0)所确定的直线的斜率的范 围.如图，当过点Q的直线与单位圆相切时，其斜率便是函 数y一心二的最值，由儿何知识，易求得过