必修5.5 三角恒等变换-高中数学思维馆(下)——公式方法大全(高中全学段通用)

●（等习心得） 4己知三角函数值求角的步骤 已知sinx=a(或cosx=a,tanx=a). (1)由已知三角函数值确定x所在象限， (2)先求出与其函数值的绝对值对应的锐角0，再根据x所在象限得出0到2π的角. 若适合条件的角在第二象限，则它是元一： 若适合条件的角在第三象限，则它是π十0； 若适合条件的角在第四象限，则它是2π一0. (3)写出适合条件的角或用集合表达出来. 说明 (1)也可以利用三角函裁线求角，先画出一个周期内的角的终边，然后再写出所有与其终边 相同的角； (2)也可以利用三角函数图象求角，光求出在一个周期内的角，再加上周期的整数倍就得到 所有的角. 5.5 三角恒等变换 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 两角和与差的余弦公式 (1)cos(a-B)=cos acos B+sin asin B; (2)cos(a+B)=cos acos B-sin asin B. 说明 (1)公式中的3可以是任意的角，可以是单角，可以是复角，也可以是任意一个代数式 (2)公式特征：两角和与差的余弦、两角的余弦乘积、两角的正弦乘积 (3)公式逆用：cos acos B+sin asin3=cos(a-3),cos acos3-sin asin3=cos(a十3) (4)已知α，B的正弦、余弦，正用公式可以求角的和或差的余弦. (5)诱导公式中的余弦公式是本组公式的特殊情况，本组公式也是诱导公式中的余弦公式 的推广，如： cos(3-a）=cos7cosa十sin2sina=sina: cos(a)-coscos a-sinsin a-sin a. π (6)公式推导的切入点思考： cos(a-B)=cos acos B十sin asin B中的右边，是乘积和的形式，而具有这个形式特征的有戴 量积的坐标公式，因此联想向量的数量积，构造向量a=(cosa,sina),b=(cosB,sinB),故只需证明 cos(a-3)=a·b. 而要出现一B,也就是两个向量角的差，就考虑把两个向量放在单位圆中，并且角的始边都是 x轴的正半轴，这样两个向量的夹角就是α一B,再运用数量积的定义就可以证出. 高甲题用公式大全>62 ·等习心得● 2两角和与差的正弦公式 (1)sin(a+B)=sin acos B++cos asin B; (2)sin(a-B)=sin acos B-cos asin B. 说明 (1)公式特征：两角和与差的正弦、两角的正弦余弦乘积、两角的余弦正弦乘积。 (2)公式逆用：sin acos B+cos asin B=sin(a十B),sin acos B-cos asin B-=sin(a-B). 3 点的旋转（补充） 设点P的坐标为(x,y),把点P绕原点按逆时针方向旋转0角度，得到的点P的坐标为 (xocos 0-yosin 0,xosin 0+yocos 0) 铺助角公式 Asina十Bcos a=√A+Bsin(a十9)，其中tanp-: B 5 两角和与差的正切公式 (1)tan(a+3)= tan atan B 1-tan atan Bi (2)tan(a-3)= tan a-tan B 1+tan atan B' 说明 (1)对正切而言，角不是任意的，而是要使正切有意义，即α十B,a一B,α，B的终边都不能与 y轴重合。 (2)变形式： ①tana-tanB=tan(a-B)(l+tan atanβ)； 2tan a+tan B=tan(a+B)(1-tan atan B); 3tan atan 8-1-tan attanB tan a tang1. tan(a+B) tan(a-B) (3)公式特征：两角和与差的正切、两角正切的和与差、两角正切的乘积与1的和差 6 二倍角的正弦、余弦和正切公式 (1)sin2a=2 sin acos a→1±sin2a=sina+cos2a±2 sin acos a=(sina士cosa)2; (2)cos 2a=cosa-sin2a=2cos'a-1=1-2sin2a →升幂公式：1+c0sa=2cos分，1-c0sa=2sin号 →降幂公式：cosa=1+c0s2a,sin'a=1-c0s2a; 2 2 2tan a (3)tan 2a=1-tan'a 63《三角函装第运0 ●（学习位得） 万能公式（补充） 2am含 1-tan2a 2an号 sin a- -cos a= ;tan a= 1+tan2 2 1+tan2 2 1-tan2 5.5.2 简单的三角恒等变换 半角公式 sing=± /1-cos a ;cOS =土 1+cos a 2 1-cos a sin a 1-cos a tan 2 1+cos a 1+cos a sin a 2