必修5.2 三角函数的概念-高中数学思维馆(下)——公式方法大全(高中全学段通用)

5.1.2弧度制 1弧度 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 半径为r的圆的圆心角a所对的弧长为1，则角α的弧度数的绝对值是a|- 说)明- 以张度为单位的角经常把单位张度(rad)省略，但以度为单位的不能省略． 2弧度 2π=360°1=181-(3^9)≈57.3 说|明 常用角度与弧度的对应值如表所示． 若扇形的圆心角为α(α为弧度制)，半径为r，周长为C，面积为S，弧长为1， 则I=la|r.C=2r+t.S=_2^2=_2|ak 5.2ⅳ三角函数的概念 5.2.1三角函数的概念 (A版)条件：如图，设α是一个任意角，a∈R，它的终边OP与单位圆相交于 点P(x，y)。点P的横坐标x，纵坐标y都是角α的函数。 P(x，y) 51（三角函数在三 ·(等习位得)● 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作 正弦函数 sina,即y=sina 点P的横坐标x叫做a的余弦函数，记作 余弦函数 cosa,即x=cosa 定义 点P的纵坐标与横坐标的比值义叫做α的 正切函数 正切，记作tana,即义=tana(.x≠0) 正弦函数y=sinx,x∈R 三角函数 余弦函数y=cosx,x∈R 正切函数y=nxx≠号十kx,k∈乙 (B版)设α是一个任意大小的角，在α的终边上任取一个不同于 的终边 坐标原点的点P(x,y),作PM垂直Ox于点M,记r=√x十y,则 P(x,y) △OMP是一个直角三角形，且OM=x,PM=y,OP=r,由此可知 sin a= OP r PM-义(x≠0)， OM csc a= 0P-(y≠0，seca=OM OP r PM y -cot a= 0M工(y≠0. PM y 说明 (I)称兰为角。的正弦，称子为角。的余孩，称义为角a的正切： (2)称工为角a的余割，称’为角a的正割，称工为角a的余切： (3)变形：y=rsin a,x=rcos a-→点P的坐标为(rcos a,rsin a); (4)任意角Q对应唯一的一个比值义，工，义，因此根据函数的定义，知这些比值是角Q的函 裁，为了区别这些不同的比值，就用不同的特号来表示这些比值，因此就引进了这些新的特号，统称 三角函数特号.习惯上我们经常用x表示函数的自变量，用y表示函数的因变量，因此这些三角函 数我们又经常写成：y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cscx,y=secx,y=cotx; (5)这个定义适合任意的角，初中所学的锐角的三角函数就成了特殊情况； (6)三角函数值的大小与终边上点P的位置无关，只与角的终边位置有关 高甲用公式大全>52 ·等习心得● 三角函数在各象限的符号 + + 、 0 0+ 正弦 余弦 正切 第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正. 口决：一全正，二正弦，三正切，四余弦，正割余割看倒数。 3公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等. sin(a+k·2x)=sina, 即 os(a+k·2π)=cosa, an(a十k·2x)=tana, 其中k∈Z. 4三角函数的定义域 三角函数 定义域 f(x)=sin x {xlx∈R} f(x)=cos z {xlx∈R f(x)=tan x {女x∈R且x≠kx+受k∈Z f(x)=cot x {xx∈R且x≠kπ，k∈Z f(x)=sec x {父r∈R且x≠kx+受，A∈Z f(x)=csc x {xx∈R且x≠kπ，k∈Z} B版)单位圆与三角函数线 1 单位圆 一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2十y=1的点组成的集合称为单位圆. 2 三角函数线 如图，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M,过单位 圆与x轴的正半轴的交点A作x轴的垂线，交α的终边于点T,则 (1)正弦线：MP; MA (2)余弦线：OM; (3)正切线：A 53《三角函数第运0 。等习心得)。及说明 (1)正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线： (2)三角函数线是向量，有大小，有方向； (3)三角函数线的方向与坐标轴同向时，对应的三角函数值为正，三角函数线的方向与坐标 轴反向时，对应的三角函数值为负； (4)三角函数线的摸等于对应的三角函数值的绝对值； (5)正切线的起点都是单位圆与x轴正半轴的交点. 3 一个有用的结论 如图，x∈(0，)，都有sin<x<tanx y y=tan x/ 4 利用三角函数线解三角不等式 基本思路：把所求的角的终边在单位圆中画出，然后写出范围即可， 例求函数y=lg(1-√2cosx)+√1十√2cosx的定义域. 求函数的定义域就是求使得所有式子有意义的自变量的范围， lg(1-2cosx)有意义台1-2c0s.x>0=c0sx<2, V1+2cosx有意义台1十2e0s≥0=c0s≥-号