必修4.3 对数&必修 4.4对数函数-高中数学思维馆(下)——公式方法大全(高中全学段通用)

·等习心得● 2指数函数图象之间的位置关系 1)y=a与y=( 的图象关于y轴对称，即底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴 对称； (2)比较指数函数图象底数大小的方法：作直线x=1,与指数函数图象的交点的纵坐标就是对应 的指数函数的底数，如图. 4.3对数 4.3.1对数的概念 1 对数的定义 一般地，如果a=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log.N,其中a 叫做对数的底数，N叫做真数. 说明 (1)负数和零没有对数； (2)对数式与指数式的互化：x=log.N台a=N(a>0,a≠1，N>0); (3)指数式、对数式、根式之间的变换 a=N=a=Nt=N台b=logN=log,a台N=agv. 2常用对数与自然对数 (1)常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，通常省略底数10，并把“log”写成“1g”,即1og1N =1g N; (2)自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数叫做自然对数，通常省略“e”,并把“1og”写成 “ln”,即log.N=lnN. 41《指数函数与对装函装第回通 (等习心得) 3儿个重要的对数恒等式 log.1=0,log.a=1,loga"=b,alN =N. 说明 利用第三个恒等式，可以把任意一个实数写成对裁的形式，如一2=10g32=l0g52. 4.3.2 对数的运算 1 对数的运算性质 如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么 (1)加法：logM+logN=log.(MN) 积的对数：log.(MN)=logM+logN (2)减法：logM-logN=log.N M 商的对数：lbe-lbgM-l62N (3)数乘：nlog.M=log.M(n∈R) 幂的对数：logM"=nlog.M(n∈R) 2对数的换底公式 log,b= logb (a>0,且a≠1；b>0:c>0,且c≠1). log a 变式：logM=”1ogM(m≠0，n∈R). m 4.4 对数函数 4.4.1 对数函数的概念 对数函数的概念 一般地，函数y=logx(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，十o∞). 4.4.2对数函数的图象和性质 1 对数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 x=1 y=0gx 图象 (10) 0 (1,0) 0 y=logx 高甲悬④公式大全>~42 续表 ·(等习心得) a>1 0a1 定义域 (0,十∞) 值域 R 过定点 图象过定点(1,0)，即当x=1时，y=0 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0，十∞)上是增函数 在(0，十∞)上是减函数 logax>0(>1), log<0(>1), 函数值的 logax=0(x=1), logax=0(x=1), 变化情况 logx<0(0<x<1) logx>0(0<x<1) a的变化对图象的影响 在第一象限内，a越大图象越低；在第四象限内，a越大图象越高 2对数函数图象之间的位置关系 (1)对数函数y=1ogx与y=logx的图象关于x轴对称； (2)比较对数函数图象底数的大小的方法：作直线y=1,与对数函数图象的交点的横坐标就是对 应的对数函数的底数，如图. y=log,x y=1---- =Ig x 01 10 102 =l0g品x y=logx 3指数函数与对数函数的关系 指数函数y=a'(a>0,且a≠1)与对数函数y=logx(a>0,且a≠1)互为反函数，它们的图象关 于直线y=x对称. 43《指装函数与对数函装第©通 (等习位得)· 4.4.3不同函数增长的差异 儿种常见函数模型的增长差异 函数 y=a(a>1) y=logax (a>1) y=kx(k>0) y=x(a>0) 性质 在(0，十∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 单调递增 随x的增大 随x的增大 变“陡”，逐渐 趋于稳定，逐 随x的增大 随a值的变化各有 图象的变化 表现为与y轴 渐表现为与 匀速上升 不同 平行 x轴平行 a>1时越来越越快， 增长速度 越来越快 越来越慢 稳定增长 0a<1时越来越慢 (B版指数函数与对数函数的关系 1反函数的定义 般地，设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C,从式子y=(x)中解出x,得式子x=p(y).如 果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 x=(y)表示x是y的函数，函数x=(y)叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=f1(y),习惯上改 写成y=f1(x). 2反函数的求法 (1)确定反函数的定义域，即原函数的值域； (2)从原函数y=f(x)中反解出x=f1(y): (3)将x=f(y)改写成y=f1(x),并注明反函数的定义域. 3反函数的性质 (1)原函数y=